初中数学人教版七年级下册5.1.2 垂线学案及答案

5．1．2  垂   线

学习目标：1．理解两条直线互相垂直的概念、性质及垂线段的概念，会借助三角尺、方格纸画垂线，并会应用解决问题；

2.   通过经历观察与操作活动探索垂直性质的过程，进一步培养观察、分析、归纳能力，发展空间观念；
3.   感受数学语言的整洁美，激发探索知识的热情，把学到的知识应用到生活中去，进一步提高参与意识和合作精神．

重点：垂直的概念和性质．

难点：垂直的概念和性质的理解与应用及垂线的画法．

【自主学习】

一、知识链接

1．两点间的距离如何测量呢？

2．两条直线相交形会成几个角？这些角之间有何数量关系？

二、新知预习

1．垂直的有关概念：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为        时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的        ，它们的交点叫做        ．

2．如图，两条直线互相垂直，垂足为O，用字母表示为        ．

        图①                 图②

3．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOC=90°，则AB与CD的位置关系是        ；反过来，若AB⊥CD，则∠AOC=        ．

三、自学自测

如图，AB⊥CD，垂足为O，图中∠1与∠2的关系是（  ）

A．∠1+∠2=180°  B．∠1+∠2=90°

C．∠1=∠2        D．无法确定

四、我的疑惑

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【合作探究】

一、要点探究

探究点1：垂线的概念

问题1：两条直线如何才算垂直呢？两条直线互相垂直，四个角的大小各如何呢？

问题2：你能借助下图写出问题1的推理过程吗？

典例精析

例1 (1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则______；

    (2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______；

    (3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____，∠BOC的补角为______．

例2  如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．

探究点2：垂线的画法及基本事实

问题3：（1）画已知直线l的垂线能画几条?

(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?

(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

探究点3：点到直线的距离

问题4：如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段．

（1）线段AB, AC, AD , AE谁最短？

（2）你能用一句话表示这个结论吗？

知识要点：（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短．简单说成：垂线段最短．

（2）垂线段AD的长度叫做点A到直线l的距离．

【做一做】在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由．

二、课堂小结

【达标练习】

1．下图中过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（     ）

2．如图，下列说法正确的是（     ）

  A．线段AB叫做点B到直线AC的距离

  B．线段AB的长度叫作点A到直线BC的距离

  C．线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离

  D．线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离

第2题图               第4题图             第5题图

3．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是(    )

  A． 有两个角相等         B．有两对角相等

  C． 有三个角相等         D．有四对邻补角

4．如图, AC⊥BC, ∠CDB=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是 (     )

   A． AC           B． BC     C． CD           D． 不能确定

5．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=58°，则∠BED的度数为         ．

6．如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线．若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE的度数．

6．解：∵AO⊥OD，且∠AOB=40°，∴∠BOD=90°-40°=50°，∴∠EOF=50°．

又∵OD平分∠BOC，∴∠DOC=∠BOD=50°，∴∠COE=180°-50°-50°=80°．