高中人教B版 (2019)8.2.4 三角恒等变换的应用当堂检测题

8.2.4　三角恒等变换的应用

基础过关练

题组一　求值问题

1.若cos α=,且α∈,则cos+sin的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.         B.     C.        D.

2.cos 23°-cos 67°+2sin 4°cos 26°=(　　)

A.-      B.         C.-     D.

3.已知sin-cos=-,450°<α<540°,则tan的值为　　　　. 

4.求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值.

5.在平面直角坐标系xOy中,以O为顶点,Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与以O为圆心的单位圆相交于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别为,,求cos+sin+tan的值.

题组二　三角函数式的化简与证明

6.化简的结果为(　　)

A.tan α        B.tan 2α        C.         D.

7.化简:(180°<α<360°)=　　　　. 

8.化简下列各式:

(1);

(2).

9. 在△ABC中,已知sin A·cos2+sin C·cos2=·sin B,求证:sin A+

sin C=2sin B.

10.在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4coscos·cos.

题组三　三角恒等变换的综合应用

11.已知函数f(x)=sin x-cos x,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.

B.

C.

D.

12.已知函数f(x)=sin x+acos x的图像的一条对称轴是直线x=,则函数g(x)=asin x+cos x的最大值是(　　)

A.    B.     C.      D.

13.函数y=的周期为(　　)

A.       B.π      C.2π        D.3π

14.函数y=sincos x的最大值为(　　)

A.     B.        C.1      D.

15.已知△ABC是锐角三角形,P=sin A+sin B,Q=cos A+cos B,则(　　)

A.P<Q           B.P>Q

C.P=Q           D.P与Q的大小不能确定

16.函数y=coscos的最大值是　　　　. 

17.已知f(x)=-+,x∈(0,π).

(1)将f(x)表示成cos x的多项式;

(2)求f(x)的最小值.

18.已知函数f(x)=sin+2cos2x-1.

(1)求函数f(x)的最大值及其相应的x的取值集合;

(2)若<α<,且f=,求cos 2α的值.

能力提升练

一、单项选择题

1.(疑难1,★★☆)若|cos θ|=,<θ<4π,则cos=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.      B.-      C.      D.-

2.(★★☆)计算:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°=(　　)

A.         B.         C.       D.1

3.(★★☆)在△ABC中,若sin Asin B=cos2 ,则△ABC是(　　)

A.等边三角形      B.等腰三角形

C.直角三角形      D.等腰直角三角形

4.(★★☆)若α+β=,则cos2α+cos2β的取值范围是(　　)

A.       B.      C.       D.[0,1]

5.(2019甘肃武威第十八中学单元检测,疑难1,★★☆)若<θ<π,则-=(　　)

A.2sin-cos      B.cos-2sin  

C.cos            D.-cos

二、多项选择题

6.(疑难1,★★☆)下列各式的值为的是(　　)

A.            B.tan 15°cos215°

C.cos2-sin2      D.

7.(疑难2,★★☆)化简下列各式,与tan α相等的是(　　)

A.          B.·(α∈(0,π))

C.           D.

三、填空题

8.(疑难2,★★☆)+=　　　　. 

9.(★★☆)已知α是第三象限角,sin α=-,则tan=　　　　. 

10.(疑难1,★★☆)已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)=　　　　. 

四、解答题

11.(★★☆)在△ABC中,若B=30°,求cos Asin C的取值范围.

12.(★★★)已知函数f(x)=sin x+cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点α,β.

(1)求实数a的取值范围;

(2)求tan(α+β)的值.

答案全解全析

基础过关练

1.B　∵cos α=,且α∈,

∴∈.

∴cos===,

sin===.

∴cos+sin=+=.

2.B　cos 23°-cos 67°+2sin 4°cos 26°

=2sin 45°sin 22°+(sin 30°-sin 22°)

=sin 22°+-sin 22°=.

3.答案　2

解析　由题意得=,即1-sin α=,∴sin α=.

∵450°<α<540°,∴cos α=-,

∴tan===2.

4.解析　原式=++·(sin 70°-sin 30°)

=1+(cos 100°-cos 40°)+sin 70°-

=+(-2sin 70°sin 30°)+sin 70°

=-sin 70°+sin 70°=.

5.解析　依题意,得cos α=,cos β=,

因为α,β为锐角,

所以cos+sin+tan

=++

=++=.

6.B　=

==tan 2α.

7.答案　cos α

解析　原式=

=

=

=.

因为180°<α<360°,所以90°<<180°,

所以cos<0,所以原式=cos α.

8.解析　(1)原式=

===tan.

(2)原式=

=

==.

9.证明　由sin A·cos2+sin C·cos2=sin B,

得sin A·+sin C·=·sin B,

即sin A+sin C+sin A·cos C+sin C·cos A=3sin B,

∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B,

∴sin A+sin C+sin(π-B)=3sin B,

即sin A+sin C+sin B=3sin B,

∴sin A+sin C=2sin B.

10.证明　由A+B+C=180°,得C=180°-(A+B),即=90°-,∴cos=sin,

∴sin A+sin B+sin C

=2sin·cos+sin(A+B)

=2sin·cos+2sin·cos

=2sin

=2cos·2cos·cos

=4coscoscos,

即sin A+sin B+sin C=4coscos·cos.

11.B　由已知得f(x)=2sin.

∵f(x)≥1,∴sin≥,

∴+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,

解得+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.

12.B　∵函数f(x)的图像关于直线x=对称,

∴f(0)=f,∴a=--,

∴a=-,

∴g(x)=-sin x+cos x

=sin,

∴g(x)max=.

13.C　∵y===tan,

∴周期T==2π.

14.B　∵y=sincos x

=

=

=sin-,

∴ymax=-=.

15.B　P-Q=(sin A+sin B)-(cos A+cos B)=2sincos-2coscos

=2cos,

∵△ABC是锐角三角形,∴45°<<90°,∴sin>cos.∵0°<A<90°,0°<B<90°,∴-45°<<45°,∴cos>0.综上,知P-Q>0,即P>Q.

16.答案　

解析　y===-cos 2x,

因为-1≤cos 2x≤1,所以ymax=.

17.解析　(1)f(x)=-+===2cos·cos=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1.

(2)∵f(x)=2cos2x+cos x-1=2-,

又x∈(0,π),∴cos x∈(-1,1),

∴当cos x=-时, f(x)取得最小值-.

18.解析　(1)f(x)=sin+2cos2x-1

=sin 2x·cos-cos 2x·sin+cos 2x

=sin 2x+cos 2x=sin.

所以当2x+=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z时, f(x)max=1,

其相应的x的取值集合为xx=kπ+,k∈Z.

(2)由(1)知f(α)=sin=.

由<α<,得<2α+<,

所以cos=-,

所以cos 2α=cos=cos 2α+·cos+sin·sin=×+×=.

能力提升练

一、单项选择题

1.C　∵|cos θ|=,<θ<4π,∴cos θ=,<<2π,

∴cos>0,∴cos===.

2.C　sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°

=2sin 30°cos 10°+2cos 70°sin(-10°)

=cos 10°-2[cos(60°+10°)]sin 10°

=cos 10°-2sin 10°

=cos 10°-sin 20°+(1-cos 20°)

=-+cos 10°

=-(sin 30°sin 20°+cos 30°cos 20°)+cos 10°

=-cos(30°-20°)+cos 10°

=-cos 10°+cos 10°=.

3.B　由已知得[cos(A-B)-cos(A+B)]=(1+cos C),

因为A+B=π-C,所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,所以cos(A-B)=1.又-π<A-B<π,所以A-B=0,所以A=B.无法判断其是不是等边三角形,也无法判断其是不是直角三角形,所以△ABC为等腰三角形.

4.C　cos2α+cos2β=+=1+(cos 2α+cos 2β)

=1+cos·cos

=1+cos(α+β)·cos(α-β)

=1+cos·cos(α-β)

=1-cos(α-β).

∵cos(α-β)∈[-1,1],∴cos2α+cos2β∈.

5.D　∵<θ<π,∴<<,∴sin>cos>0.

∵1-sin θ=sin2+cos2-2sincos=,(1-cos θ)=sin2,

∴-

=-

=-sin

=-cos.

二、多项选择题

6.ACD　A符合,原式=×=tan 45°=;B不符合,原式=sin 15°·cos 15°=sin 30°=;C符合,原式=·cos=;D符合,原式=sin 30°=.故选ACD.

7.BC　A不符合,===|tan α|;

B符合,因为α∈(0,π),所以原式=·==tan α;

C符合,==tan α;

D不符合,==.故选BC.

三、填空题

8.答案　

解析　+

=+

=

=

==

=2cos 30°=.

9.答案　-

解析　∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,∴kπ+<<kπ+,k∈Z,∴tan<-1.

sin α==-,

整理得12tan2+25tan+12=0,解得tan=-或tan=-(舍去).

10.答案　-

解析　∵cos α+cos β=2coscos

=2cos·cos=cos=,

∴cos(α+β)=2cos2-1=2×-1

=-.

四、解答题

11.解析　由题意,得

cos Asin C=[sin(A+C)-sin(A-C)]=[sin(180°-B)-sin(A-C)]=-sin(A-C).

∵B=30°,∴-150°<A-C<150°,

∴-1≤sin(A-C)≤1,∴-≤-sin(A-C)≤,

∴cos Asin C的取值范围是.

12.解析　(1)∵函数f(x)=sin x+cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点,

∴关于x的方程sin x+cos x+a=0在(0,2π)内有两个不同的根.

∵sin x+cos x=2sin x+cos x=2sinx+,

∴方程化为sin=-在(0,2π)内有两个不同的根.

∵0<x<2π,∴<x+<.

结合图像(图像略)可得,若方程有两个不同的根,则满足-1<-<1且-≠,

解得-2<a<2且a≠-.

∴实数a的取值范围是(-2,-)∪(-,2).

(2)由题意知α,β是方程sin x+cos x+a=0的两个根,

∴sin α+cos α+a=0,①

sin β+cos β+a=0,②

①-②得(sin α-sin β)+(cos α-cos β)=0,

∴2sincos-2sinsin=0,

又sin≠0,∴tan=,∴tan(α+β)==.