高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用教学演示ppt课件

第2课时　三角函数的积化和差与和差化积

知识点1　积化和差公式

cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]；

sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]；

sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]；

cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]．

1.计算sin 105°cos 75°的值是(　　)

A．　 B．

C．－ D．－

B　[sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝.]

2.sin cos化成和差的形式为(　　)

A．sin (α＋β)＋cos (α－β)

B．cos (α＋β)＋sin (α－β)

C．sin (α＋β)＋sin (α－β)

D．cos (α＋β)＋cos (α－β)

B　[sin cos

＝

＝

＝cos (α＋β)＋sin (α－β).故选B.]

知识点2　和差化积问题

设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝．这样，上面的四个式子可以写成，

sin x＋sin y＝2sin_cos_；

sin x－sin y＝2cos_sin_；

cos x＋cos y＝2cos_cos_；

cos x－cos y＝－2sin_sin_．

和差化积公式的适用条件是什么？

[提示]　只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．

3.下列等式正确的是(　　)

A．sin x＋sin y＝2sin sin

B．sin x－sin y＝2cos cos

C．cos x＋cos y＝2cos cos

D．cos x－cos y＝2sin sin

C　[由和差化积公式知C正确．]

4.cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．

2sin  sin 　[cos 2α－cos 3α

＝－2sin ·sin

＝－2sin sin

＝2sin  sin .]

类型1　积化和差问题

【例1】　(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.

(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.

[解]　(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°

＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)

＝－sin 50°＋cos 40°

＝－sin 50°＋sin 50°＝.

(2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°

＝cos 10°cos 50°cos 70°

＝

＝cos 70°＋cos 40°cos 70°

＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°)

＝cos 70°＋cos 110°＋＝.

积化和差公式的功能与关键

(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).

②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质．

(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．

[跟进训练]

1．求sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°的值．

[解]　原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°)

＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－

＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70°

＝－sin 70°＋sin 70°＝.

类型2　和差化积问题

【例2】　已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值．

[解]　因为cos α－cos β＝，

所以－2sin sin ＝.  ①

又因为sin α－sin β＝－，

所以2cos sin ＝－.  ②

因为sin ≠0，

所以由①②，得－tan ＝－，即tan ＝.

所以sin (α＋β)＝

＝＝＝.

1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值．

[解]　因为cos α－cos β＝，

所以－2sin sin ＝.  ①

又因为sin α－sin β＝－，

所以2cos sin ＝－.  ②

因为sin ≠0，

所以由①②，得－tan ＝－，

即tan ＝.

所以cos (α＋β)＝

＝＝＝－.

2．(变条件)将本例中的条件“cosα－cos β＝，sin α－sin β＝－”变为“cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝－”，结果如何？

[解]　因为cos α＋cos β＝，

所以2cos cos ＝.  ①

又因为sin α＋sin β＝－，

所以2sin cos ＝－.  ②

所以cos ≠0，所以由①②，得tan ＝－，

所以sin (α＋β)＝

＝＝＝－.

和差化积公式应用时的注意事项

(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．

(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：

①运用公式之后，能否出现特殊角；

②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项．

(3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cosα＝cos －cos α.

类型3　公式的综合应用

【例3】　在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sin sin cos .

1．解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？

[提示]　注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．

2．在△ABC中有哪些重要的三角关系？

[提示]　 在△ABC中的三角关系：

sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C，

sin ＝cos ，cos ＝sin ，

sin (2A＋2B)＝－sin 2C，cos (2A＋2B)＝cos 2C.

[证明]　左边＝sin (B＋C)＋2sin cos

＝2sin cos ＋2sin cos

＝2cos

＝4sin sin cos ＝右边，

所以原等式成立．

证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．

[跟进训练]

2．在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos ·cos .

[证明]　由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，

即＝90°－，所以cos ＝sin .

所以sin A＋sin B＋sin C

＝2sin ·cos ＋sin (A＋B)

＝2sin ·cos ＋2sin ·cos

＝2sin

＝2cos ·2cos ·cos

＝4cos cos cos ，

所以原等式成立．

1．sin 75°－sin 15°的值为(　　)

A．　 B．　　　

C．　 D．－

B　[sin 75°－sin 15°＝2cos sin

＝2××＝.

故选B.]

2．函数y＝sin cos x的最大值为(　　)

A． B．  

C．1 D．

B　[因为y＝sin cos x

＝

＝＝sin －.

所以函数y的最大值为.]

3.＋＝________．

　[原式＝

＝

＝

＝＝2cos 30°＝.]

4．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则sin αcos β＝________．

　[sin αcos β＝sin (α＋β)＋sin (α－β)＝×＋×＝.]

5．化简下列各式：

(1)＝________．

(2)＝________．

(1)tan 　(2)　[(1)原式

＝

＝

＝

＝tan .

(2)原式＝

＝

＝

＝.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．积化和差、和差化积公式是什么？

[提示]　(1)积化和差公式：

sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]，

cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]，

cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]，

sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)].

(2)和差化积公式：

sin x＋sin y＝2sin cos ，

sin x－sin y＝2cos sin ，

cos x＋cos y＝2cos cos ，

cos x－cos y＝－2sin sin

2．公式有何特征？

[提示]　和差化积公式记忆口诀：

“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”

(正代表sin α，余代表cos α)