人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用第2课时学案设计

第2课时　积化和差、和差化积公式

[课程目标] 1.了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程；了解此组公式与两角和与差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力．

2．掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．

[填一填]

1．三角函数的积化和差公式

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，

sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，

sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，

2．积化和差公式的推导

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)，

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，(Sα－β)，

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(Cα＋β)，

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，(Cα－β)，

(Sα＋β)＋(Sα－β)，(Sα＋β)－(Sα－β)，

(Cα＋β)＋(Cα－β)，(Cα＋β)－(Cα－β)，得

sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，

sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ，

cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ，

cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ，

即sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，①

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，②

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，③

sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，④

公式①②③④叫做积化和差公式．

3．三角函数的和差化积公式

sinx＋siny＝2sincos，

sinx－siny＝2cossin，

cosx＋cosy＝2coscos，

cosx－cosy＝－2sinsin.

4．和差化积公式的推导

在积化和差的公式中，如果令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝.

把这些值代入积化和差的公式①中，就有

sin·cos

＝

＝(sinθ＋sinφ)．

∴sinθ＋sinφ＝2sin·cos.⑤

同样可得，

sinθ－sinφ＝2cos·sin，⑥

cosθ＋cosφ＝2cos·cos，⑦

cosθ－cosφ＝－2sin·sin.⑧

公式⑤⑥⑦⑧叫做和差化积公式．

[答一答]

1．积化和差与和差化积公式有哪些特点？

提示：(1)积化和差公式的特点

①同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半；

②等式左边为单角α、β，等式右边是它们的和(差)角；

③如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负．

(2)和差化积公式的特点

①余弦函数的和或差化为同名函数之积；

②正弦函数的和或差化为异名函数之积；

③等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式；

④只有余弦差一组的符号为负，其余均为正．

2．三角恒等变换的基本原则是什么？

提示：(1)化异角为同角：利用三角函数公式把不同的角化为相同的角．

(2)化异次为同次：利用升降幂公式把异次化为同次．

(3)化异名为同名：利用诱导公式把不同名的三角函数化为同名三角函数．

(4)三角函数式化简的原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低(正整数指数幂)，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应求出其值．

类型一　　积化和差公式

 [例1]　运用积化和差公式计算或化简下列各式：

(1)sin·cos；

(2)2cos35°sin55°；

(3)cos(x－y)cos(x＋y)．

[分析]　本题主要考查积化和差公式，所给形式均符合公式形式，按公式化积即可．

[解]　(1)原式＝

＝

＝×

＝－.

(2)原式＝sin(35°＋55°)－sin(35°－55°)

＝sin90°＋sin20°

＝1＋sin20°.

(3)原式＝{cos[(x－y)＋(x＋y)]＋cos[(x－y)－(x＋y)]}

＝[cos2x＋cos(－2y)]

＝cos2x＋cos2y.

[变式训练1]　sincos化成和差为(　B　)

A.sin＋sin

B.cos(α＋β)＋sin

C.sin(α－β)＋sin

D.cos(α＋β)＋sin

解析：原式＝＝cos(α＋β)＋sin.

类型二　和差化积公式

[例2]　将sin2α－cos2β化为积的形式．

[分析]　解此题可以先因式分解，再和差化积或先降幂再和差化积．

[解]　方法一：sin2α－cos2β＝(sinα＋cosβ)(sinα－cosβ)

＝

＝2sin·cos·2cos·sin

＝sin·sin

＝－cos(α＋β)·cos(α－β)．

方法二：sin2α－cos2β＝－

＝－(cos2α＋cos2β)＝－cos(α＋β)cos(α－β)．

[变式训练2]　把下列各式化为积的形式：

(1)cosx－；

(2)1＋2sinx.

解：(1)原式＝cosx－cos

＝－2sinsin

＝－2sinsin.

(2)原式＝2＝2

＝4sincos

＝4sincos.

类型三　　　三角函数式的化简、求值与证明

命题视角1：运用公式对三角函数式化简求值

[例3]　化简并求值．

(1)sin10°sin30°sin50°sin70°；

(2)cosπ＋cosπ＋cosπ.

[分析]　利用形式的变化以及特殊值求解，注意积与和差的转化．

[解]　解法1：(1)sin10°sin30°sin50°sin70°

＝－(cos60°－cos40°)sin70°

＝－sin70°＋sin70°cos40°

＝－sin70°＋(sin110°＋sin30°)

＝－sin70°＋sin70°＋＝.

(2)cosπ＋cosπ＋cosπ

＝2coscos＋2cos2－1

＝2cos－1

＝－4coscoscos－1

＝－1

＝－1

＝－－1＝－－1

＝－1＝－.

解法2：(1)sin10°sin30°sin50°sin70°

＝cos20°cos40°cos80°

＝

＝＝

＝＝＝.

(2)cos＋cos＋cos

＝

＝

＝－＝－.

对于给式求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不能，则再对所求化简，直到找到两者的联系为止.“走一走，看一看”对解此类问题是非常必要的.试图利用已知等式及平方关系分别求取cosα，cosβ，sinα，sinβ的值，导致运算烦琐，难以求解.

[变式训练3]　求下列各式的值．

(1)sin54°－sin18°；

(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°.

解：(1)sin54°－sin18°

＝2cossin

＝2cos36°sin18°＝2×

＝＝＝＝.

(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°

＝2cos120°cos26°＋2×(cos120°＋cos26°)

＝2××cos26°＋＋cos26°

＝－cos26°＋＋cos26°

＝－.

命题视角2：运用公式证明三角函数式

[例4]　求证：tan－tan＝.

[证明]　方法1：tan－tan＝－

＝

＝＝

＝

＝.

方法2：＝

＝＝－

＝tan－tan.

证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.

[变式训练4]　在△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coscoscos.

证明：因为A＋B＋C＝π，

所以C＝π－(A＋B)，＝－.

因此sinA＋sinB＋sinC

＝2sin·cos＋sin(A＋B)

＝2sincos＋2sincos

＝2sin

＝2sin·2cos·cos

＝2cos·2cos·cos

＝4cos·cos·cos.

类型四　　在解三角形中的应用

 [例5]　在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　)

A．等边三角形   B．等腰三角形

C．不等边三角形   D．直角三角形

[解析]　由已知等式得[cos(A－B)－cos(A＋B)]

＝(1＋cosC)，

又A＋B＝π－C，

所以cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，

所以cos(A－B)＝1.

又因为在三角形中，所以A－B＝0，所以A＝B.

故△ABC为等腰三角形．

[答案]　B

判定三角形形状的基本思路：对已知三角恒等式化简变形，把三角函数关系式最终化成角之间的关系，利用角之间的关系判定形状，在变形时注意合理利用内角和定理及其变形

[变式训练5]　已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值．

解：∵A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，

∴B＝60°，A＋C＝120°.

∴原式可化为cosA＋cosC＝－2cosAcosC.

∴2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，

由A＋C＝120°，代入上式得

cos＝－cos(A－C)＝－2cos2＋，

即2cos2＋cos－＝0，

∴(2cos＋3)(cos－)＝0，

∵2cos＋3≠0，∴cos＝.

1．给出下列四个关系式：

①sinαsinβ＝[cos(α＋β)－cos(α－β)]

②sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

③cosαcosβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]

④cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]

其中不正确的个数是(　B　)

A．1   B．2

C．3   D．4

2．cos15°sin105°＝(　A　)

A.＋   B.－

C.＋1   D.－1

解析：cos15°sin105°＝[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝(sin120°＋sin90°)＝＝＋.

3．已知α－β＝且cosα－cosβ＝，则cos(α＋β)等于(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：由cosα－cosβ＝，得－2sin·sin＝，

即sin＝－，

∴cos(α＋β)＝1－2sin2＝1－2×2＝.

4．函数y＝的最小正周期是.

解析：∵y＝＝

＝tan(2x＋)，

∴y的最小正周期为.