数学必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用精品第1课时学案及答案

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第1课时 半角的正弦、余弦和正切








半角公式


sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))，cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))，


taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).


思考：如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？


[提示](1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．


(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角eq \f(α,2)所在范围，然后再根据角eq \f(α,2)所在象限确定符号．





1.若cs α＝eq \f(2,3)，α∈(0，π)，则cs eq \f(α,2)的值为( )


A．eq \f(\r(6),6) B．－eq \f(\r(6),6)


C．eq \f(\r(30),6) D．－eq \f(\r(30),6)


C [由题意知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs eq \f(α,2)>0，


cs eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cs α,2))＝eq \f(\r(30),6).]


2.下列各式与tan α相等的是( )


A．eq \r(\f(1－cs 2α,1＋cs 2α)) B．eq \f(sin α,1＋cs α)


C．eq \f(sin α,1－cs 2α) D．eq \f(1－cs 2α,sin 2α)


D [eq \r(\f(1－cs 2α,1＋cs 2α))＝eq \r(\f(2sin2α,2cs2α))＝eq \r(tan2α)＝|tan α|；


eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),2cs2\f(α,2))＝tan eq \f(α,2)；


eq \f(sin α,1－cs 2α)＝eq \f(sin α,2sin2α)＝eq \f(1,2sin α)；


eq \f(1－cs 2α,sin 2α)＝eq \f(2sin2α,2sin αcs α)＝tan α.]


3.设α∈(π，2π)，则eq \r(\f(1＋csπ＋α,2))等于________．


sin eq \f(α,2) [eq \r(\f(1＋csπ＋α,2))＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \r(sin2\f(α,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))).


∵α∈(π，2π)，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，故原式＝sin eq \f(α,2).]





【例1】 已知π<α

eq \f(1－sin α,\r(1＋cs α)＋\r(1－cs α))的值．


[思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据eq \f(α,2)的范围开方化简．


[解] 原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))


∵π<α0.


∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2))))


＝－eq \f(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin \f(α,2)－cs \f(α,2),\r(2))＝－eq \r(2)cs eq \f(α,2).





要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cs α＝2 cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2 sin2eq \f(α,2)，1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))eq \s\up8(2)等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．








1.已知eq \f(3π,2)<θ<2π，试化简：eq \r(1＋sin θ)－eq \r(1－sin θ).


[解] ∵eq \f(3π,2)<θ<2π，∴eq \f(3π,4)

∴0＜sineq \f(θ,2)＜eq \f(\r(,2),2)，－1＜cseq \f(θ,2)＜－eq \f(\r(,2),2)，


从而sineq \f(θ,2)＋cseq \f(θ,2)＜0，sineq \f(θ,2)－cseq \f(θ,2)＞0.


∴原式＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2)))eq \s\up8(2))－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2)))eq \s\up8(2))


＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2)))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2)))


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2)))


＝－2sin eq \f(θ,2).


【例2】 已知|cs θ|＝eq \f(3,5)，且eq \f(5π,2)<θ<3π，求sin eq \f(θ,2)，cs eq \f(θ,2)，tan eq \f(θ,2)的值．


[思路探究] eq \x(由题意求cs θ)―→eq \x(由半角公式求sin2\f(θ,2)，cs2\f(θ,2))


―→eq \x(求sin \f(θ,2)，cs \f(θ,2))―→求eq \x(tan \f(θ,2))


[解] 由eq \f(5π,2)<θ<3π，且|cs θ|＝eq \f(3,5)可知，


cs θ＝－eq \f(3,5)，eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).


由sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,2)＝eq \f(1＋\f(3,5),2)＝eq \f(4,5)，


∴sin eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(4,5))＝－eq \f(2\r(5),5).


由cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)＝eq \f(1－\f(3,5),2)＝eq \f(1,5)，


∴cs eq \f(θ,2)＝－eq \f(\r(5),5).


∴tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin \f(θ,2),cs \f(θ,2))＝eq \f(－\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5))＝2.





已知θ的某三角函数值，求eq \f(θ,2)的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,2)，cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)，tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin θ,1＋cs θ)＝eq \f(1－cs θ,sin θ)来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求eq \f(θ,2)的范围.








2.已知sin eq \f(α,2)－cs eq \f(α,2)＝－eq \f(\r(5),5)，450°<α<540°，求sin α及tan eq \f(α,2)的值．


[解] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))eq \s\up8(2)＝1－sin α＝eq \f(1,5)，


∴sin α＝eq \f(4,5)，


∴sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,2)＝eq \f(2,5)，


∴eq \f(sin \f(α,2)cs \f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))＝eq \f(tan \f(α,2),tan2\f(α,2)＋1)＝eq \f(2,5)，


解得tan eq \f(α,2)＝2或tan eq \f(α,2)＝eq \f(1,2).


∵450°<α<540°，


∴225°

∴tan eq \f(α,2)>1，∴tan eq \f(α,2)＝2.


综上可知sin α＝eq \f(4,5)，tan eq \f(α,2)＝2.


【例3】(1)求证：1＋2cs2θ－cs 2θ＝2.


(2)求证：eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)


＝eq \f(1＋cs x,sin x).


[思路探究](1)可由左向右证：先把左边cs2 θ降幂化为同角后整理可证．


(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．


[证明](1)左边＝1＋2×eq \f(1＋cs 2θ,2)－cs 2θ＝2＝右边．


所以原等式成立．


(2)左边＝eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))


＝eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))


＝eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(1＋cs x,sin x)＝右边．


所以原等式成立．





三角恒等式证明的五种常用方法：


(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．


(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．


(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．


(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．


(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．








3.已知0<α

[证明] ∵3sin β＝sin(2α＋β)，


即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，


∴3sin(α＋β)cs α－3cs(α＋β)sin α


＝sin(α＋β)cs α＋cs(α＋β)sin α，


∴2sin(α＋β)cs α＝4cs(α＋β)sin α，


∴tan(α＋β)＝2tan α.


又∵4tan eq \f(α,2)＝1－tan2eq \f(α,2)，


∴tan α＝eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)，


∴tan(α＋β)＝2tan α＝1，


∵α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴α＋β＝eq \f(π,4).


[探究问题]


1.如何求函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)的最小正周期？


[提示] y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))


＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)－\f(π,4)))＋1＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5,12)π))＋1，


所以函数的最小正周期T＝π.


2.研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcs ωx＋ccs2ωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答？


[提示] 研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcs ωx＋ccs2ωx的性质时，先化成f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(ωx＋φ)＋c的形式再解答．


【例4】 已知函数f(x)＝4cs ωx·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π.


(1)求ω的值；


(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调性．


[思路探究] 利用三角公式化简函数式，写为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再讨论函数的性质．


[解](1)f(x)＝4cs ωx·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))


＝2eq \r(2)sin ωx·cs ωx＋2eq \r(2)cs2 ωx


＝eq \r(2)(sin 2ωx＋cs 2ωx)＋eq \r(2)


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq \r(2).


因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有eq \f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.


(2)由(1)知，f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \r(2).


若0≤x≤eq \f(π,2)，则eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4).


当eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)，


即0≤x≤eq \f(π,8)时，f(x)单调递增；


当eq \f(π,2)<2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，


即eq \f(π,8)

综上可知，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,8)))上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(π,2)))上单调递减．





三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcs ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acsωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.








4．已知函数f(x)＝－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋6sin xcs x－2cs2 x＋1，x∈R.


(1)求f(x)的最小正周期；


(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．


[解](1)f(x)＝－sin 2x－cs 2x＋3sin 2x－cs 2x


＝2sin 2x－2cs 2x＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).


所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.


(2)由(1)知f(x)＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，


由于x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，


则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1)).


所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值为2eq \r(2)，最小值为－2.





常用的三角恒等变换思想方法


(1)常值代换


用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．


(2)切化弦


当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝eq \f(sin α,cs α)，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．


(3)降幂与升幂


由C2α变形后得到公式：sin2α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)，cs2α＝eq \f(1,2)(1＋cs 2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α，就是升幂．


(4)角的变换


角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]，α＝eq \f(1,2)[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等.





1.已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，则sin eq \f(α,2)等于( )


A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)


C．eq \f(4,5) D．eq \f(2\r(5),5)


A [由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，


∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(\r(5),5).]


2.已知sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，则sin 2α的值等于( )


A．eq \f(7,16)B．－eq \f(7,16)


C．－eq \f(9,16) D．eq \f(9,16)


C [由sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，(sin α－cs α)2＝1－2sin α·cs α＝1－sin 2α＝eq \f(25,16)，所以sin 2α＝－eq \f(9,16).]


3.函数y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x的最小正周期为________．


π [∵y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，∴函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.]


4．求证：eq \f(1＋sin 4θ－cs 4θ,2tan θ)＝eq \f(1＋sin 4θ＋cs 4θ,1－tan2 θ).


[证明] 原式可变形为


1＋sin 4θ－cs 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cs 4θ)，①


①式右边＝eq \f(sin 2θ,cs 2θ)(1＋2cs22θ－1＋2sin 2θcs 2θ)


＝eq \f(sin 2θ,cs 2θ)(2cs22θ＋2sin 2θcs 2θ)＝2sin 2θ(cs2θ＋sin2θ)


＝2sin 2θcs2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cs4θ＝左边．


∴①式成立，即原式得证．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．(一般)


2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点)
1.通过半角的正弦、余弦和正切公式的推导，培养学生的逻辑推理的核心素养．


2.借助半角的正弦、余弦和正切公式的应用，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
化简问题
求值问题
三角恒等式的证明
三角恒等变换与三角函数图像性质的综合应用