【期末必备】11.2 与三角形有关的角-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

11.2  与三角形有关的角

知识点1 三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于 180°。

如图所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

注意1

（1）三角形内角和定理适用于所有三角形；

（2）三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。

知识点2 直角三角形的性质及判定

1.   直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

在△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°

2.   直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。

在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形。

注意2

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC。

知识点3 三角形的外角

1.   三角形的一边与另一边的盐城县组成的角，叫做三角形的外角。
2.   三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3.   三角形的外角和等于 360°。

在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC，∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°（如图所示）

注意3

三角形的外角和不是所有外角的和，而是每个顶点各取一个外角，然后求和。

题型1 应用三角形内角和定理求角的度数

此类题目一般将所求角纳入一个三角形中，先求出另外两角的度数或另外两角的度数和或与另外两角的数量关系，再借助三角形内角和为180°求解。

例题1 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC相交于点F。

（1）求∠C+∠CAF的度数；

（2）求∠EDF的度数。

【解析】

（1）∵△ABC沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD=∠EAD=30°

∴∠BAF=60°.

∵∠B=50°，∴∠AFB=180°-50°-60°=70°，

∴∠C+∠CAF=∠AFB=70°

（2）∵∠ADB=180°-50°-30°=100°，∴由折叠得∠ADE=∠ADB=100°

∵∠ADF=∠B+∠BAD=50°+30°=80°，∴∠EDF=∠ADE-∠ADF=100°-80°=20°

变式1 如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B,C,D在同一条直线上，DF∥EC，∠D=42°，求∠B的度数。

【解析】

∵DF∥EC，∴∠BCE=∠D=42°，

∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACB=2∠BCE=84°

∵∠A=46°，∴∠B=180°-84°-46°=50°

题型2 应用三角形内角和定理的推论求角的度数

在三角形中求角的度数，通常将这个角看成一个三角形的内角或一个三角形的外角，再借助三角形内角和定理及其推论进行解答。

例题2如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED。

（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；

（2）当点D在BC边上（点B,C除外）运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由。

【解析】

（1）∵∠B=∠C=45°，∴∠BAC=180°-45°-45°=90°

∵∠BAD=60°，∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°

∵∠ADE=∠AED，∴∠ADE=（180°-30°）=75°

∵∠ADC=∠B+∠BAD=45°+60°=105°

∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°

（2）∠BAD=2∠CDE。理由如下：

∵∠AED=∠C+∠CDE,∠ADE=∠AED，

∴∠ADE=∠C+∠CDE

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，

∴∠B+∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE

∵∠B=∠C,∴∠BAD=2∠CDE

变式2如图所示，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，求∠ADB的度数。

【解析】

∵∠A=20°，∠C=50°，∴∠AEB=∠A+∠C=20°+50°=70°

又∵∠B=30°，∴∠ADB=∠AEB+∠B=70°+30°=100°

题型3 三角形内角和、外角、高与角平分线的综合

这类题型通常借助角平分线找到两角之间的关系，借助高构造直角三角新，出现两角互余，再借助三角形的内角和为180°这一隐含条件求出角的度数。

例题3如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数。

【解析】

∵∠A=∠B=∠ACB，设∠A=x，∴∠B=2x，∠ACB=3x

∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴x+2x+3x=180°，

解得x=30°，∴∠A=30°，∠ACB=90°

∵CD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-30°=60°

∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=x90°=45°

∴∠DCE=∠ACD=∠ACE=60°-45°=15°

变式3如图∠1=∠2，∠3=∠4，CD⊥BD于点D，试探究∠DCE与∠A之间的数量关系。

【解析】

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠2+∠4=（180°-∠A）=90°-∠A

∵∠DEC=∠2+∠4，CD⊥BD，

∴∠DCE=90°-∠DEC=90°-（90°-∠A）=∠A

题型4 三角形的内、外角性质及角平分线相关的规律性问题

例题4已知BM,CN分别为△A1BC的两个外角的平分线，BA2,CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的平分线，如图（1）；BA3,CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线（即∠A3BC=∠A1BC，∠A3CB=∠A1CB），如图（2）；依次画图，BAn，CAn分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线（即∠AnBC=∠A1BC，∠AnCB=∠A1CB），n≥2，且n为整数

图（1）图（2）

（1）若∠A1=70°，求∠A2的度数；

（2）设∠A1=α，请用含α和n的代数式表示∠An的度数，并写出表示的过程；

（3）当n≥3，请直接写出∠MBAn+∠NCAn与∠An的数量关系。

【解析】

（1）∵∠A1=70°，∴∠A1BC+∠A1CB=180°-70°=110°

∵BA2,CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的平分线，∴∠A2BC+∠A2CB=x110°=55°

∴∠A2=180°-55°=125°

（2）在△A1BC中，∠A1BC+∠A1CB=180°-α，

∵∠AnBC=∠A1BC，∠AnCB=∠A1CB，∴∠AnBC+∠AnCB=（∠A1BC+∠A1CB）=（180°-α），

∴∠An=180°-（∠AnBC+∠AnCB）=180°--（180°-α）

（3）2（∠MBAn+∠NCAn）+（n-2）∠An=180°n

理由如下：如图，∵BM,CN分别是△A1BC的两个外角的平分线

∴∠MBE=∠A1BE=（180°-∠A1BC），∠NCF=∠A1CF=（180°-∠A1CB）

∴∠MBAn+∠NCAn=360°-（∠MBE+∠NCF）-（∠AnBC+∠AnCB）

                =360°-（180°-∠A1BC）-（180°-∠A1CB）-（180°-∠An）

                =（∠A1BC+∠A1CB）+∠An

=（180°-∠A1）+∠An

由（2）可得∠An=180°-（180°-∠A1），

∴∠A1=n∠An-180°n+180°，∴∠MBAn+∠NCAn=（180°-n∠An-180°n+180°）+∠An=90°n- ∠An

∴2（∠MBAn+∠NCAn）+（n-2）∠An=180°n

变式4如图（1），∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E

（1）如果∠A=60°，∠ABC=50°，求∠E的度数；

（2）猜想：图（1）中，∠E与∠A有什么数量关系（写出结论即可）

（3）如图（2），点E是△ABC两外角平分线BE，CE的交点，探索∠E和∠A之间的数量关系，并说明理由。

图（1）图（2）

【解析】

（1）根据外角的性质得到∠ACD=∠A+∠ABC=60°+50°=110°

∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠1=∠ACD=55°，∠2=∠ABC=25°，

∵∠E+∠2=∠1，∴∠E=∠1-∠2=30°

（2）猜想：∠E=∠A

（3）∠E+∠A=90°。理由如下：

∵BE,CE是△ABC两外角的平分线，∴∠2=∠CBD，∠4=∠BCF，而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，

∴∠2=（∠A+∠ACB），∠4=（∠A+∠ABC），

∵∠E+∠2+∠4=180°，

∴∠E+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）=180°，即∠E+∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°，

∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠E+∠A=180°