初中数学华师大版七年级上册第4章 图形的初步认识综合与测试单元测试精练

华师大版初中数学七年级上册第四单元《图形的初步认识》单元测试卷

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，图是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥图，把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中个面涂色的小三棱锥叫中心块，个面涂色的叫棱块，个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“棱块数角块数中心块数”得(    )

A.  B.  C.  D.

2. 有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图，测得其底面半径为，高为，其内装蓝色液体若干．若如图放置时，测得液面高为；若如图放置时，测得液面高为则该玻璃密封容器的容积圆柱体容积底面积高是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列语句中正确的个数为(    )
   圆是立体图形；射线只有一个端点；线段就是、两点的距离；角的大小与角两边的长度无关；等角的余角相等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 若干个桶装方便面摆放在桌子上，小明从三个不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有(    )

A. 桶 B. 桶 C. 桶 D. 桶

5. 如图所示的无盖水杯，俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图表示一个正方体的展开图，下面四个正方体中只有一个符合要求，那么这个正方体是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法中，正确的是(    )

A. 一周角的度数等于两个直角的度数
B. 顶点在圆上的角叫做圆心角
C. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形
D. 有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角

9. 如图，都是由边长为的正方体叠成的立体图形，例如第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，依次规律，第个图形有多少个正方体叠成(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 下列说法中正确的个数是(    )

如果，则。      点是线段三等分点，那么。   两点之间，直线最短。   

线段叫点到点的距离。一个正方形边长增加倍，则新正方形面积是原正方形面积的倍。

取直线的中点。             反向延长线段，得到射线。   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 下列说法中，错误的有(    )过两点有且只有一条直线；   
    连结两点的线段的长度叫做两点的距离；
    两点之间，线段最短；      
    ，则点是线段的中点；

射线比直线短．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午点整到下午点整，钟面角为的情况有(    )

A. 有一种 B. 有四种 C. 有五种 D. 有六种

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图所示的几何体都是由棱长为个单位的正方体摆成的，经计算可得第个几何体的表面积为个平方单位，第个几何体的表面积为个平方单位，第个几何体的表面积是个平方单位，，依此规律，则第个几何体的表面积是______个平方单位．

14. 桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由______个这样的正方体组成．

15. 如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为、的长方形，那么这个圆柱的体积等于          ．
16. 已知点在直线上，，，、分别是、的中点，则为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．

请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题：

根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是_______________．

一个多面体的面数比顶点数大，且有条棱，则这个多面体的面数是_________．

某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱．设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．

18. 实验室里有一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的棱长为，容器内的水深为现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块铁块一面平放在容器底面，过顶点的三条棱的长分别，，．
    
    容器内水的体积为          ．
    当铁块的顶部高出水面时，的值为          ．
19. 学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：

当桌子上放有个碟子时，请写出此时碟子的高度用含的式子表示；
分别从三个方向上看，如图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度．

20. 将个棱长为个单位的小正方体在地面上堆叠成如图所示的几何体，然后将露出的表面部分染成红色．
    画出这个的几何体的三视图；
    该几何体被染成红色部分的面积为______．
     

21. 如图至图是将正方体截去一部分后得到的多面体．
    
    根据要求填写表格：

猜想、、三个数量间有何关系；
根据猜想计算，若一个多面体有顶点数个，棱数条，试求出它的面数．

22. 【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．如图，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：______；
    【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．
    如图是边长为的正方体，被如图所示的分割成块．
    用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：______；
    已知，，利用上面的规律求的值．

23. 如图，点在线段上，，分别是，的中点．

若，，求线段的长；

若为线段上任一点，满足，其他条件不变，请猜想的长，并用一句简洁的话描述你发现的结论；

若点在线段的延长线上，且满足，，分别为，的中点，请猜想的长，画出图形，并说明理由．

24. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图所示，若，则是的内半角．
    如图所示，已知，，是的内半角，则______．
    如图，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？
    已知，把一块含有角的三角板如图叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
     

25. 如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转．
    如图，若，则______，______；
    若射线是的角平分线，且．
    若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示
    在旋转过程中，若，求此时的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了大三棱锥的面数，关键是理解怎么由若干个小三棱锥堆成的大三棱锥，其中个面涂色的小三棱锥是四个顶点处的三棱锥，个面涂色的小棱锥为每两个面的连接处，个面涂色的小棱锥为每个面上不与其他面接触的部分，通过分析确定棱块数、角块数、中心块数，从而得到答案．
【解答】
解：如图所示：

三个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共个，则角块数为；
个面涂色的小棱锥为每两个面的连接处，共个，则棱块数为；
个面涂色的小棱锥为每个面上不与其他面接触的部分，即图中所示阴影部分，每一面上有个，共个，则中心块数为；
所以棱块数角块数中心块数．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．
根据圆柱体的体积公式和图和图中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得出结论．
【解答】
解：设该玻璃密封容器的容积为，
，
解得，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：圆是平面图形，错误；
射线只有一个端点，正确；
线段的长度就是、两点的距离，错误；
角的大小与角两边的长度无关，正确；
等角的余角相等，正确；
故选：．
根据立体图形、射线、线段、角的有关概念判断即可．
此题考查余角和补角问题，关键是根据数学知识的应用解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据三视图的形状，可得到，俯视图上每个位置上放置的个数，进而得出总数量，
俯视图中的数，表示该位置放的数量，因此，
故选：．
利用三视图，在俯视图相应的位置上标上摆放的小立方体的个数，进而得出答案．
考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是简单几何体的三视图有关知识，根据三视图的投影规律进行解答即可．
【解答】
解：该立体图形的俯视图为所示．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，
符合题意．
故选C．
根据几何体的展开图先判断出实心圆点与空心圆点的关系，进而可得出结论．
本题考查的是几何体的展开图，此类问题从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查立方体的展开图，观察给出的平面图形，回想正方体展开图的特点；给出的展开图属于“”结构，折成正方体后，直横线的面与空白面相对，与直横线的面相邻上方的斜线面是右斜；根据相对面以及与直横线的面相邻上方的斜线面是右斜结合各个选项，即可求解

【解答】

解：将平面图形折成正方体后，直横线的面与空白面相对，故可排除，选项．

与直横线的面相邻上方的斜线面是右斜，故可排除选项．

故选B．

8.【答案】 

【解析】解：、一周角的度数等于个直角的度数和，故此选项错误；
B、顶点在圆上，且两边与圆相交的角叫做圆心角，故此选项错误；
C、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，正确；
D、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误．
故选：．
分别利用周角的定义以及正多边形的定义和圆周角定义、角的定义，分别分析得出答案．
此题主要考查了角的概念以及周角的定义以及正多边形的定义和圆周角定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了图形变化类问题以及正方体，解决问题的关键是依据图形得到变换规律．解题时注意：第个图形中的正方体的个数为．
根据图形的变换规律，可知第个图形中的正方体的个数为，据此可得第个图形中正方体的个数．
【解答】
解：由图可得：
第个图形中正方体的个数为；
第个图形中正方体的个数为；
第个图形中正方体的个数为；
第个图形中正方体的个数为；
故第个图形中的正方体的个数为，
第个图形中正方体的个数为．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查两点间距离，直线，射线和线段的性质及三等分点的定义，正方形面积，是基础题，熟记各性质与概念是解题的关键．根据各项所给一一判断解析，即可得解．

【解答】
解：如果，则，如果三点不在同一条直线上，不成立，错误；
点是线段三等分点，那么或者，故错误；
两点之间，线段最短，故错误；
线段叫点到点的距离，错误；
一个正方形边长增加倍，则新正方形面积是原正方形面积的倍，故本小题错误；
取直线的中点，直线无限延伸，没有中点，故错误；
反向延长线段，得到射线，正确，
综上所述，正确的有共个．
故选A．

11.【答案】 

【解析】解：两点确定一条直线，正确；
连结两点的线段的长度叫做两点的距离，正确；
两点之间线段最短，正确；
，则点不一定是线段的中点，错误；
射线和直线都无限长，无法比较大小，错误．
所以错误的有个，
故选B．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
钟表里，时钟的时针与分针互相垂直的时刻有若干个，根据从下午点整到下午点整所给的时刻，即可求出答案．
【解答】
解：设从下午点整到下午点整经过分钟，时针与分针的夹角是，则分针转了，时针转了，
下午点到下午点整时，若钟面角为，则有：




时分，时分时钟面角为，
下午点到下午点整时，若钟面角为，则有：




时分，时分时钟面角为，
下午点到下午点整时，若钟面角为，则有：


时分时钟面角为，
所以下午点整到下午点整，钟面角为的情况有五种，
故选C．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了认识立体图形，几何体的表面积和找规律，解决此类问题有两种思路，可以从图形找规律，也可以从数字找规律．本题可以从数字找规律，从而计算出所求的表面积．
【解答】
解：第个几何体的表面积，
第个几何体的表面积，
第个几何体的表面积，
因此得出：第个几何体的表面积，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：由主视图可得组合几何体有列，由左视图可得组合几何体有行，
最底层几何体最多正方体的个数为：，
由主视图和左视图可得第二层个角各有一个正方体，
第二层共有个正方体，
该组合几何体最多共有个正方体．
故答案为：．
由主视图可得组合几何体有列，由左视图可得组合几何体有行，可得最底层几何体最多正方体的个数；由主视图和左视图可得第二层个角各有一个正方体，相加可得所求．
此题考查由视图判断几何体；得到最底层正方体的最多的个数是解决本题的突破点；用到的知识点为：最底层正方体的最多的个数行数列数．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了展开图折叠成几何体，本题关键是熟练掌握圆柱的体积公式，注意分类思想的运用．
分两种情况：底面周长为高为；底面周长为高为；先根据底面周长得到底面半径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解．
【解答】
解：底面周长为高为，


；
底面周长为高为，


．
答：这个圆柱的体积可以是或．
故答案为：或．  

16.【答案】或 

【解析】解：由点，分别是，的中点，得，由线段的和差，得
点、在点同侧时；
点、在点两侧时．
本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得，的长，再根据线段的和差，可得的长．分类讨论是解题的关键．
 

17.【答案】解：四面体的棱数为；正八面体的顶点数为；
关系式为．

由题意得，解得．

因为有个顶点，每个顶点处都有条棱，两点确定一条直线，  所以共有条棱，  那么，解得，所以．

【解析】见答案
 

18.【答案】 ；或 

【解析】解：根据已知容器内水的体积为，
故答案为：；
当长方体实心铁块的棱长为和的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为，此时水位上升了，铁块浸在水中的体积为，
，
解得，
当长方体实心铁块的棱长为和的那一面平放在长方体的容器底面时，
同理可得：，
解得，
故答案为：或．
利用长方体体积公式即可得到答案；
分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．
 

19.【答案】解：由题意得：；
由三视图可知共有个碟子，
叠成一摞的高度，
答：叠成一摞后的高度为． 

【解析】此题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有获取信息读表、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键．
由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为时，碟子的高度为；
根据三视图得出碟子的总数，由知每个碟子的高度，即可得出答案．
 

20.【答案】解：作图如下：

 

【解析】

【分析】
本题考查从不同方向看物体画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积．
由已知条件可知，主视图有列，每列小正方数形数目分别为，，；左视图有列，每列小正方形数目分别为，，；俯视图有列，每列小正方数形数目分别为，，据此可画出图形；
分别从前面，后面，左面，右面和上面数出被染成红色部分的正方形的个数，再乘以个面的面积即可求解．
【解答】
解：见答案；


   
答：该几何体被染成红色部分的面积为．
故答案为：．  

21.【答案】                 

【解析】解：题，面数，顶点数，棱数，
题，面数，顶点数，棱数，
题，面数，顶点数，棱数，
故答案为：，，，，，，，．

．

，，
，
，
即它的面数是．
根据图形数出即可．
根据中结果得出．
代入求出即可．
本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据中的结果得出规律．
 

22.【答案】；
；
由可知

将，代入上式可得

故的值为：． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平方差，立方和公式的几何背景，用分割求解和整体计算可解得．
阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积 即：又阴影部分的面积由个长为，宽为的小正方形构成即：即可求得；
大正方体被切割成了个小正方体或长方体故而求它们的体积和，再直接求大正方体的体积可解的恒等式；
由的结论将已知代入即可求得值．
【解答】
解：阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积 即：
又阴影部分的面积由个长为，宽为的小正方形构成即：
；
八个小正方体或长方体的体积之和是：

；
见答案．  

23.【答案】解：因为，是的中点，  所以 
因为，是的中点，所以， 
所以故线段的长为．

猜想：  结论：若为线段上一点，
且，分别是，的中点，则存在．

猜想：  若点在线段的延长线上，如图：

或

则 
因为是 的中点，所以 
因为是的中点，所以， 
所以．

【解析】见答案
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，，是的内半角，
，
，
；
故答案为：．
如图，由旋转可知，，
，，
是的内半角，
，即，
解得，
当旋转的角度为时，是的内半角；

能，理由如下，
由旋转可知，；根据题意可分以下四种情况：
当射线在内，如图，
此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得秒；
当射线在外部，有以下两种情况，如图，图，
如图，此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得秒；
如图，此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得秒；
当射线在内，如图，
此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得秒；

综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；秒；秒；秒．
根据“内半角”的定义，可求出的度数，再根据，可得出结论；
由旋转可分别求出和的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出的值；
由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．
本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．
 

25.【答案】解：；；
因为，，
所以，
因为射线是的角平分线，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，

因为，，
所以，
因为平分，
所以，，
所以，，
因为，
所以，
解得，
综上所述，若，的值为或． 

【解析】

【分析】
本题主要考查角的平分线，余角和补角，角的计算，分类讨论是解题的关键．
由垂线的定义可得，利用角的和差可求解；
根据余角的定义可求的度数，结合角平分线的定义可求得，再利用平角的定义可求解；
可分两种情况：当位于内部时，当位于内部时，结合角平分线的定义，利用角的和差倍分变换可求解角的度数．
【解答】
解：如图，因为，
所以，
因为，
所以；
因为，
所以，
故答案为：；；
见答案．