（人教A版2019选择性必修第一册）专题08 与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆

专题08  与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆

题型一  与圆有关的定点问题

1．已知直角坐标系中，圆．

①过点作圆的切线，求的方程；

②直线与圆交于点，两点，已知，若轴平分，证明：不论取何值，直线与轴的交点为定点，并求出此定点坐标．

2．已知圆过点，圆心在直线上．

（1）求圆的一般方程．

（2）若不过原点的直线与圆交于，两点，且，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．

3．已知直线，半径为3的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右下方．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于，两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4．已知为直线上一动点，过点向圆作两切线，切点分别为、．

（1）求四边形面积的最小值及此时点的坐标；

（2）直线是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．

5．已知圆和直线．

（1）若直线与圆相交，求的取值范围；

（2）若，点是直线上一个动点，过点作圆的两条切线、，切点分别是、，证明：直线恒过一个定点．

6．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，．

（1）当切线的长度为时，求点的坐标；

（2）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．

7．已知圆经过两点，且圆心在直线上．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设，是圆上异于原点的两点，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过一定点，并求出该定点的坐标．

8．在平面直角坐标系中，点在直线上，，以线段为直径的圆为圆心）与直线相交于另一个点，．

（1）求圆的标准方程；

（2）若点不在第一象限内，圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且两直线的斜率之积为，试判断直线是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

9．已知三点、、在圆上．为直线上的动点，与圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为．

（1）求圆的标准方程；

（2）若直线与圆相交所得弦长为，求点的坐标；

（3）证明：直线过定点．

10．已知关于直线对称，且圆心在轴上．

（1）求的标准方程；

（2）已知动点在直线上，过点引的两条切线、，切点分别为，．

①记四边形的面积为，求的最小值；

②证明直线恒过定点．

11．已知圆与直线相离，是直线上任意一点，过作圆的两条切线，切点为，．

（1）若，求；

（2）当点到圆的距离最小值为时，证明：直线过定点．

12．已知圆，圆．

（1）求过点且与圆相切的直线的方程；

（2）若与轴不垂直的直线交于，两点，交于，两点，且，求证：直线过定点．

13．已知圆经过点，，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于，两点，问在直线上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

14．已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为5，且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）设点，过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程；

（3）设是直线上的点，过点作圆的切线，，切点为，．求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

题型二  阿波罗尼斯圆

15．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点、间的距离为2，动点满足，则的最大值为　　

A． B． C． D．

16．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为，则点的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点，点为圆上的点，若存在轴上的定点，和常数，对满足已知条件的点均有，则　　

A．1 B． C． D．

17．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点，的距离之满足且为常数，则点的轨迹为圆．已知圆和，若定点，和常数满足：对圆上任意一点，都有，则　　，　　．

18．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点，的距离之满足且为常数，则点的轨迹为圆．已知圆和，若定点，和常数满足：对圆上任意一点，都有，则　　，面积的最大值为　　．

19．已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线截得的弦长为．

（1）求圆的方程；

（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为．

①求的方程，并说明是什么图形；

②试探究：在直线上是否存在定点（异于原点，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由．

20．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为　　．

21．已知圆，直线．

（1）求直线所过定点的坐标；

（2）若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值；

（3）若点的坐标为，在轴上存在点（不同于点满足，对于圆上任意一点，都有为一常数，求所有满足条件的点的坐标．

22．已知圆，直线．

（Ⅰ）当直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．

（Ⅱ）已知点是圆上任意一点，在轴上是否存在两个定点，，使得？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由．

23．已知点和，圆与圆关于直线对称．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值．