（人教A版2019选择性必修第一册）专题09 与圆有关的定值问题

专题09  与圆有关的定值问题

1．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．

（1）试求圆的方程；

（2）若圆与直线相交于，，，两点．求证：为定值．

2．动圆与轴交于，，，两点，且，是方程的两根．

（1）若线段是动圆的直径，求动圆的方程；

（2）证明：当动圆过点时，动圆在轴上截得弦长为定值．

3．如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线、分别与圆交于、两点．

（1）若，，求的面积；

（2）若直线过点，证明：为定值，并求此定值．

4．已知过点 且斜率为的直线与圆交于，两点．

（1）求斜率的取值范围；

（2）以点为圆心，为半径的圆与圆总存在公共点，求的取值范围；

（3）为坐标原点，求证：直线与斜率之和为定值．

5．在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为，经过坐标原点的直线与圆交于，两点．

（1）求当满足时对应的直线的方程；

（2）若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为、，求证：为定值．

6．已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点在左侧），为坐标原点）．

（1）求圆的标准方程；

（2）过点任作一条直线与圆相交于，两点．

①证明：为定值；

②求的最小值．

7．已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．

（1）求圆的标准方程．

（2）直线与圆交于，两点．

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）证明：直线与直线的斜率之和为定值．

8．在平面直角坐标系中，设圆的圆心为，．

（1）若，是圆的两条切线，，是切点，为圆心，求四边形的面积；

（2）若过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，．设直线、的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

9．已知圆，直线过定点．

（1）若与圆相切，求的方程；

（2）若与圆相交于、两点，线段中点为，又与交点为，求证：为定值．

10．已知为坐标原点，圆的方程为：，直线过点．

（1）若直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程；

（2）若直线与圆交于不同的两点，，试问：直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．

11．若圆与圆相外切．

（1）求的值；

（2）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，为第三象限内一点且在圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．

12．已知圆和轴相切于点，与轴的正半轴交于、两点在的左侧），且；

（1）求圆的方程；

（2）过点任作一条直线与圆相交于点、，连接和，记和的斜率为，，求证：为定值．

13．平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴交于点．

（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，．

①设直线，的斜率分别是，，问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由；

②设线段的中点为，点，若，求直线的方程．

14．平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆被直线截得弦长为．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于，两点，与轴交于点，设，，求证：为定值．

15．已知圆的圆心在轴上，半径，过点且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，，且与直线交于点，若，中点为，问是否存在实数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

16．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点是圆上一点．

（1）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；

（2）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．

17．已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点，．

（1）求实数的取值范围；

（2）设直线，的斜率分别是，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；

（3）设的中点为，求点到直线的距离的最大值．

18．平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交于点．

（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，．

①设线段的中点为，求点纵坐标的最小值；

②设直线，的斜率分别是，，问：是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．

19．如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，点，，为圆上的不同于点的两点．

（1）已知坐标为，若直线截圆所得的弦长为，求圆的方程；

（2）若直线过，求面积的最大值；

（3）若直线，与圆都相切，求证：当变化时，直线的斜率为定值．

20．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴右侧，原点和点都在圆上，且圆在轴上截得的线段长度为3．

（1）求圆的方程；

（2）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；

（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．

21．在直角坐标系中，曲线与轴交于、两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：

（1）能否出现的情况？说明理由；

（2）证明过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值．

22．如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于，两点（点在点的左侧），且．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于，两点，连接，，求证：为定值．

23．已知圆，直线过定点

（1）若直线与圆相切，切点为，求线段的长度；

（2）若与圆相交于，两点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．