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人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试单元测试达标测试
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这是一份人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试单元测试达标测试，共27页。试卷主要包含了下列正多边形的中心角最小的是，在平面直角坐标系中，以点等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年人教新版九年级上册数学
第24章《圆》单元测试卷
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（ ）
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
3．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
4．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．下列正多边形的中心角最小的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝5，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠AMB＝120°
B．ME＝MD
C．AE+BD＝AB
D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上
8．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
9．如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DB得到扇形DAB（阴影部分），且扇形DAB的面积为4π．若扇形DAB正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1，使A1B1与⊙O相切于点E，CB1与⊙O相交于点F，则CF的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
12．如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（ ）
A．4 B． C． D．
二．填空题（共12小题，满分36分）
13．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为 ．
14．如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
15．有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB＝18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD＝ cm．
16．在华夏文化中有一个重要的审美基础：天圆地方一个正方形找内切圆和外接圆，在外接圆上继续找外切正方形，则内切圆的半径，外接圆的半径，正方形的边长，是循环的1：关系，则在如图所示数轴上的位置是点 ．
17．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EBC的度数为 ．
18．将一张扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，已知该圆锥形桶的底面周长为6πcm，高为4cm，则扇形纸片的面积为 cm2（结果保留π）．
19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD＝115°，则∠EBD的大小为 ．
20．如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O'落在圆O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A＝15°，⊙O的半径长为2，则BC的长为 ．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，以AC为直径作半圆，交AB边于点D，点O为圆心，连接OD，则图中阴影部分的面积是 ．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
23．一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 cm2．
24．如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
25．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
求证：AD＝CD．
26．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，所对圆心角为90°，连接AC，BD交于点E．
（1）求证：BC＝CE；
（2）当DC＝时，求⊙O的半径．
28．如图，AB为半圆O的直径，CD＝AB＝2，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长．
29．如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．
30．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
（1）求点Q的运动总长度；
（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
31．如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．
（1）求的长；
（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解；∵OD⊥AB，AD＝3cm，
∴AB＝2AD＝6cm．
故选：B．
2．解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；
B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
3．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝15°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠BDC＝∠CAB＝75°，
故选：B．
4．解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
5．解：A．中心角度数为：360°÷8＝45°，
B..中心角度数为：360°÷6＝60°，
C..中心角度数为：360°÷5＝72°，
D..中心角度数为：360°÷4＝90°，
故中心角最小的是45°．
故选：A．
6．解：连接OC，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，OA＝OC＝OB，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，
又∠DBC＝∠DCO，
∴△DBC∽△DCO，
∴，
∵BD＝4，CD＝5，
∴，
解得：DO＝，
∴OB＝OD﹣BD＝，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．解：如图，
∵∠C＝60°，
∴∠CAB+∠CBA＝120°，
∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝60°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，
∵∠EMD＝∠AMB＝120°，
∴∠EMD+∠ECD＝180°，
∴C，E，M，D四点共圆，
∵∠MCE＝∠MCD，
∴，
∴EM＝DM，故②正确，
在AB上取一点T，使得AT＝AE，
在△AME和△AMT中，
，
∴△AME≌△AMT（SAS），
∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，
∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，
在△BMD和△BMT中，
，
∴△BMD≌△BMT，
∴BD＝BT，
∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，
∵M，M′关于AC对称，
∴∠M′＝∠AMC，
∵∠AMC＝90°+∠ABC，
∴∠M′与∠ABC不一定互补，
∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故④错误，
故选：D．
8．解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
如图所示：
∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．
故选：D．
9．解：设AD＝AB＝l，
根据题意得：πl2＝4π，
解得：l＝4，
设圆锥的底面半径为r，根据题意得：
2πr＝，
解得：r＝1，
故选：A．
10．解：连接OE，作OH⊥B1C于点H，
∵A1B1与⊙O相切于点E，
∴∠OEB1＝∠OHB1＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A1B1C1D1，
∴∠B1＝∠B1CD1＝90°，AB＝CD＝10，BC＝B1C＝AD＝8，
∴四边形OEB1H和是矩形，OE＝OD＝OC＝5，
∴B1H＝OE＝5，
∴CH＝B1C﹣B1H＝3，
∴CF＝2CH＝6．
故选：C．
11．解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴的长是＝π，
故选：D．
12．解：设OC＝x．
由题意得，OA＝OF．
∴＝．
∴．
∴x＝1．
∴OD＝＝．
故选：B．
二．填空题（共12小题，满分36分）
13．解：过O作OF⊥CD于F，OQ⊥AB于Q，连接OD，
∵AB＝CD，
∴OQ＝OF，
∵OF过圆心O，OF⊥CD，
∴CF＝DF＝2，
∴EF＝2﹣1＝1，
∵OF⊥CD，OQ⊥AB，AB⊥CD，
∴∠OQE＝∠AEF＝∠OFE＝90°，
∵OQ＝OF，
∴四边形OQEF是正方形，
∴OF＝EF＝1，
在△OFD中，由勾股定理得：OD＝＝．
故答案为：．
14．解：×2+2π×1＝+π＝．
故答案为：．
15．解：在Rt△ADO中，DO＝＝＝12（cm），
则CD＝CO﹣DO＝15﹣12＝3（cm），
故答案为：3．
16．解：∵1.52＝2.25，1＜2＜2.25，
∴1＜＜1，5，
故在如图所示数轴上的位置是点B，
故答案为：B．
17．解：如图，连接OC、OD、OE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠COD＝∠DOE＝＝72°，
∴∠COE＝2∠COD＝144°，
∴∠EBC＝∠COE＝72°，
故答案为：72°．
18．解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr＝6π，
解得r＝3，
所以圆锥的母线长为＝5（cm），
所以圆锥的侧面积为×6π×5＝15π（cm2），
即扇形纸片的面积为15πcm2．
故答案为：15πcm2．
19．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝115°，
∴∠BAD＝65°，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠EBD＝∠DAE＝25°．
故答案为：25°．
20．解：如图，连接OO′，
由题意得：BO＝OO'＝BO'，
∴△BOO'为等边三角形，
∴∠OBO'＝60°，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∴∠A'BO'＝90°，
∴∠A'BO＝∠A'BO'﹣∠OBO'＝30°，
∵∠A＝15°
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝75°，
∴∠BCO＝180°﹣∠AOB﹣∠A'BO＝75°，
∴BC＝BO＝2，
故答案为：2．
21．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴AC＝BC＝2，
∵OA＝OD，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠COD＝2∠BAC＝60°，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形COD
＝××2﹣
＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
22．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
23．解：圆柱的底面周长为：π×2×5＝10π，
侧面积为10π×6＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
24．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝4，∠C＝∠ADC＝90°．
∵四边形DEFG为矩形，
∴DG＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝90°．
∴CG＝＝3．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，∠EDA+∠ADG＝90°，
∴∠CDG＝∠EDA．
∵∠C＝∠E＝90°，
∴△CDG∽△EAD．
∴，
∴，
∴DE＝，AE＝．
∴AF＝EF﹣AE＝．
①当⊙O与矩形DEFG的FG边相切时，设AB与FG交与点H，
过点O作OM⊥FG于点M，如图，
∵∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠FAB＝90°．
∵∠F＝90°，
∴∠FAB+∠FHA＝90°，
∴∠EAD＝∠FHA．
∵∠E＝∠F＝90°，
∴△EAD∽△FHA．
∴＝．
∴＝，
∴AH＝，FH＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的FG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∵OM⊥FG，AF⊥FG，
∴OM∥AF，
∴．
∴，
解得：x＝．
∴OA＝
②当⊙O与矩形DEFG的DG边相切时，如图，
过点O作OM⊥DG于点M，延长MO，交EF于点N，则ON⊥EF，MN＝DE＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的DG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∴ON＝MN﹣OM＝﹣x，
∵ON∥FH，
∴，
∴．
解得：x＝2．
∴OA＝2；
③过点O作OM⊥DE于点M，如图，
可知OM＞OA，⊙O与矩形DEFG的边DE相离．
综上，以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为或2．
故答案为：或2．
三．解答题（共7小题，满分78分）
25．证明：根据题意作图如下：
∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD．
26．（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
27．（1）证明：∵所对圆心角为90°，
∴∠DBC＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝45°，
∴∠CEB＝∠DBC，
∴BC＝CE；
（2）解：∵∠ECB＝90°，CE＝CB，
∴△CEB是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
∵∠DCE＝∠ABE，∠CDE＝∠BAE，
∴△DCE∽△ABE，
∴，
∵DC＝，
∴，
∴AB＝2，
∴⊙O的半径为1．
28．解：连接OE、OF、AC、OC、OD，AC与OF相交于H点，如图，
∵CD＝AB，
∴CD＝OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CAD＝∠COD＝30°，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E为CB的中点，
∴OE⊥BC，
∵F为弧AC的中点，
∴OF⊥AC，CH＝AH，
∴四边形OECH为矩形，
∴∠EOF＝90°，OE＝CH＝AC，
设CE＝x，则BE＝x，
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴AC＝CE＝x，
在Rt△ACB中，（ x）2+（2x）2＝（4）2，
解得x＝4，
∴AC＝4，
∴OE＝2，
在Rt△OEF中，EF＝＝＝2．
29．（1）证明：连接OC，
∵CE⊥DE，
∴∠E＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠ACD＝2∠A，
∴∠ACD＝2∠ACO，
∴∠ACO＝∠DCO，
∴∠A＝∠DCO，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠DCO，
∴OC∥DE，
∴∠E+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCE＝∠OCE＝90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵∠D＝∠A＝∠ACO，
∴∠D＝∠BCE，
又∠BEC＝∠CED＝90°，
∴△BCE∽△CDE，
∵＝＝2，
∴BC＝CE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OC∥ED，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠OBC，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△BEC∽△BCA，
∴＝，
∴＝＝，
∵AC＝4，
∴AB＝2，
∴OA＝，
即⊙O的半径为．
30．解：（1）∵点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，
∴可以假设∠COQ＝n，∠BOP＝2n，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BCO＝2∠A＝120°，
∵P，O，Q共线，
∴120°﹣n+2n＝180°，
∴n＝60°，
∴点Q的运动总长度＝＝；
（2）如图，取OB的中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．
∵OB＝OC＝2，∠BOC＝120°，
∴BC＝OB＝2，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵BJ＝OJ＝1，
∴JH＝BJ＝，BH＝，
∴CH＝，
∴CJ＝＝＝，
∵BM＝MP．BJ＝OJ，
∴JM＝OP＝1，
∴CM≤JM+CJ＝1+，
∴CM的最大值为1+．
31．解：（1）连接AC，OC，OB，
∵AB⊥CD，EF＝EC，
∴AF＝AC，
∴∠CAE＝∠EAF，
∵∠EAF＝25°，
∴∠CAE＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAE＝50°，
∴的长为＝；
（2）连接OA，OC，OB，BC，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵CE＝BE，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
由（1）知：∠BOC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝65°，
∴∠OBA＝∠OBC﹣∠EBC＝65°﹣45°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠AMB＝AOB＝70°．
2022-2023学年人教新版九年级上册数学
第24章《圆》单元测试卷
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（ ）
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
3．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
4．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．下列正多边形的中心角最小的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝5，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠AMB＝120°
B．ME＝MD
C．AE+BD＝AB
D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上
8．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
9．如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DB得到扇形DAB（阴影部分），且扇形DAB的面积为4π．若扇形DAB正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1，使A1B1与⊙O相切于点E，CB1与⊙O相交于点F，则CF的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
12．如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（ ）
A．4 B． C． D．
二．填空题（共12小题，满分36分）
13．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为 ．
14．如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
15．有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB＝18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD＝ cm．
16．在华夏文化中有一个重要的审美基础：天圆地方一个正方形找内切圆和外接圆，在外接圆上继续找外切正方形，则内切圆的半径，外接圆的半径，正方形的边长，是循环的1：关系，则在如图所示数轴上的位置是点 ．
17．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EBC的度数为 ．
18．将一张扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，已知该圆锥形桶的底面周长为6πcm，高为4cm，则扇形纸片的面积为 cm2（结果保留π）．
19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD＝115°，则∠EBD的大小为 ．
20．如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O'落在圆O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A＝15°，⊙O的半径长为2，则BC的长为 ．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，以AC为直径作半圆，交AB边于点D，点O为圆心，连接OD，则图中阴影部分的面积是 ．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
23．一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 cm2．
24．如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
25．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
求证：AD＝CD．
26．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，所对圆心角为90°，连接AC，BD交于点E．
（1）求证：BC＝CE；
（2）当DC＝时，求⊙O的半径．
28．如图，AB为半圆O的直径，CD＝AB＝2，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长．
29．如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．
30．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
（1）求点Q的运动总长度；
（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
31．如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．
（1）求的长；
（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解；∵OD⊥AB，AD＝3cm，
∴AB＝2AD＝6cm．
故选：B．
2．解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；
B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
3．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝15°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠BDC＝∠CAB＝75°，
故选：B．
4．解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
5．解：A．中心角度数为：360°÷8＝45°，
B..中心角度数为：360°÷6＝60°，
C..中心角度数为：360°÷5＝72°，
D..中心角度数为：360°÷4＝90°，
故中心角最小的是45°．
故选：A．
6．解：连接OC，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，OA＝OC＝OB，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，
又∠DBC＝∠DCO，
∴△DBC∽△DCO，
∴，
∵BD＝4，CD＝5，
∴，
解得：DO＝，
∴OB＝OD﹣BD＝，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．解：如图，
∵∠C＝60°，
∴∠CAB+∠CBA＝120°，
∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝60°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，
∵∠EMD＝∠AMB＝120°，
∴∠EMD+∠ECD＝180°，
∴C，E，M，D四点共圆，
∵∠MCE＝∠MCD，
∴，
∴EM＝DM，故②正确，
在AB上取一点T，使得AT＝AE，
在△AME和△AMT中，
，
∴△AME≌△AMT（SAS），
∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，
∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，
在△BMD和△BMT中，
，
∴△BMD≌△BMT，
∴BD＝BT，
∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，
∵M，M′关于AC对称，
∴∠M′＝∠AMC，
∵∠AMC＝90°+∠ABC，
∴∠M′与∠ABC不一定互补，
∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故④错误，
故选：D．
8．解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
如图所示：
∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．
故选：D．
9．解：设AD＝AB＝l，
根据题意得：πl2＝4π，
解得：l＝4，
设圆锥的底面半径为r，根据题意得：
2πr＝，
解得：r＝1，
故选：A．
10．解：连接OE，作OH⊥B1C于点H，
∵A1B1与⊙O相切于点E，
∴∠OEB1＝∠OHB1＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A1B1C1D1，
∴∠B1＝∠B1CD1＝90°，AB＝CD＝10，BC＝B1C＝AD＝8，
∴四边形OEB1H和是矩形，OE＝OD＝OC＝5，
∴B1H＝OE＝5，
∴CH＝B1C﹣B1H＝3，
∴CF＝2CH＝6．
故选：C．
11．解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴的长是＝π，
故选：D．
12．解：设OC＝x．
由题意得，OA＝OF．
∴＝．
∴．
∴x＝1．
∴OD＝＝．
故选：B．
二．填空题（共12小题，满分36分）
13．解：过O作OF⊥CD于F，OQ⊥AB于Q，连接OD，
∵AB＝CD，
∴OQ＝OF，
∵OF过圆心O，OF⊥CD，
∴CF＝DF＝2，
∴EF＝2﹣1＝1，
∵OF⊥CD，OQ⊥AB，AB⊥CD，
∴∠OQE＝∠AEF＝∠OFE＝90°，
∵OQ＝OF，
∴四边形OQEF是正方形，
∴OF＝EF＝1，
在△OFD中，由勾股定理得：OD＝＝．
故答案为：．
14．解：×2+2π×1＝+π＝．
故答案为：．
15．解：在Rt△ADO中，DO＝＝＝12（cm），
则CD＝CO﹣DO＝15﹣12＝3（cm），
故答案为：3．
16．解：∵1.52＝2.25，1＜2＜2.25，
∴1＜＜1，5，
故在如图所示数轴上的位置是点B，
故答案为：B．
17．解：如图，连接OC、OD、OE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠COD＝∠DOE＝＝72°，
∴∠COE＝2∠COD＝144°，
∴∠EBC＝∠COE＝72°，
故答案为：72°．
18．解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr＝6π，
解得r＝3，
所以圆锥的母线长为＝5（cm），
所以圆锥的侧面积为×6π×5＝15π（cm2），
即扇形纸片的面积为15πcm2．
故答案为：15πcm2．
19．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝115°，
∴∠BAD＝65°，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠EBD＝∠DAE＝25°．
故答案为：25°．
20．解：如图，连接OO′，
由题意得：BO＝OO'＝BO'，
∴△BOO'为等边三角形，
∴∠OBO'＝60°，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∴∠A'BO'＝90°，
∴∠A'BO＝∠A'BO'﹣∠OBO'＝30°，
∵∠A＝15°
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝75°，
∴∠BCO＝180°﹣∠AOB﹣∠A'BO＝75°，
∴BC＝BO＝2，
故答案为：2．
21．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴AC＝BC＝2，
∵OA＝OD，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠COD＝2∠BAC＝60°，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形COD
＝××2﹣
＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
22．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
23．解：圆柱的底面周长为：π×2×5＝10π，
侧面积为10π×6＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
24．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝4，∠C＝∠ADC＝90°．
∵四边形DEFG为矩形，
∴DG＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝90°．
∴CG＝＝3．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，∠EDA+∠ADG＝90°，
∴∠CDG＝∠EDA．
∵∠C＝∠E＝90°，
∴△CDG∽△EAD．
∴，
∴，
∴DE＝，AE＝．
∴AF＝EF﹣AE＝．
①当⊙O与矩形DEFG的FG边相切时，设AB与FG交与点H，
过点O作OM⊥FG于点M，如图，
∵∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠FAB＝90°．
∵∠F＝90°，
∴∠FAB+∠FHA＝90°，
∴∠EAD＝∠FHA．
∵∠E＝∠F＝90°，
∴△EAD∽△FHA．
∴＝．
∴＝，
∴AH＝，FH＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的FG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∵OM⊥FG，AF⊥FG，
∴OM∥AF，
∴．
∴，
解得：x＝．
∴OA＝
②当⊙O与矩形DEFG的DG边相切时，如图，
过点O作OM⊥DG于点M，延长MO，交EF于点N，则ON⊥EF，MN＝DE＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的DG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∴ON＝MN﹣OM＝﹣x，
∵ON∥FH，
∴，
∴．
解得：x＝2．
∴OA＝2；
③过点O作OM⊥DE于点M，如图，
可知OM＞OA，⊙O与矩形DEFG的边DE相离．
综上，以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为或2．
故答案为：或2．
三．解答题（共7小题，满分78分）
25．证明：根据题意作图如下：
∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD．
26．（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
27．（1）证明：∵所对圆心角为90°，
∴∠DBC＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝45°，
∴∠CEB＝∠DBC，
∴BC＝CE；
（2）解：∵∠ECB＝90°，CE＝CB，
∴△CEB是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
∵∠DCE＝∠ABE，∠CDE＝∠BAE，
∴△DCE∽△ABE，
∴，
∵DC＝，
∴，
∴AB＝2，
∴⊙O的半径为1．
28．解：连接OE、OF、AC、OC、OD，AC与OF相交于H点，如图，
∵CD＝AB，
∴CD＝OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CAD＝∠COD＝30°，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E为CB的中点，
∴OE⊥BC，
∵F为弧AC的中点，
∴OF⊥AC，CH＝AH，
∴四边形OECH为矩形，
∴∠EOF＝90°，OE＝CH＝AC，
设CE＝x，则BE＝x，
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴AC＝CE＝x，
在Rt△ACB中，（ x）2+（2x）2＝（4）2，
解得x＝4，
∴AC＝4，
∴OE＝2，
在Rt△OEF中，EF＝＝＝2．
29．（1）证明：连接OC，
∵CE⊥DE，
∴∠E＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠ACD＝2∠A，
∴∠ACD＝2∠ACO，
∴∠ACO＝∠DCO，
∴∠A＝∠DCO，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠DCO，
∴OC∥DE，
∴∠E+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCE＝∠OCE＝90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵∠D＝∠A＝∠ACO，
∴∠D＝∠BCE，
又∠BEC＝∠CED＝90°，
∴△BCE∽△CDE，
∵＝＝2，
∴BC＝CE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OC∥ED，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠OBC，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△BEC∽△BCA，
∴＝，
∴＝＝，
∵AC＝4，
∴AB＝2，
∴OA＝，
即⊙O的半径为．
30．解：（1）∵点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，
∴可以假设∠COQ＝n，∠BOP＝2n，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BCO＝2∠A＝120°，
∵P，O，Q共线，
∴120°﹣n+2n＝180°，
∴n＝60°，
∴点Q的运动总长度＝＝；
（2）如图，取OB的中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．
∵OB＝OC＝2，∠BOC＝120°，
∴BC＝OB＝2，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵BJ＝OJ＝1，
∴JH＝BJ＝，BH＝，
∴CH＝，
∴CJ＝＝＝，
∵BM＝MP．BJ＝OJ，
∴JM＝OP＝1，
∴CM≤JM+CJ＝1+，
∴CM的最大值为1+．
31．解：（1）连接AC，OC，OB，
∵AB⊥CD，EF＝EC，
∴AF＝AC，
∴∠CAE＝∠EAF，
∵∠EAF＝25°，
∴∠CAE＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAE＝50°，
∴的长为＝；
（2）连接OA，OC，OB，BC，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵CE＝BE，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
由（1）知：∠BOC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝65°，
∴∠OBA＝∠OBC﹣∠EBC＝65°﹣45°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠AMB＝AOB＝70°．
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