3.2.2 函数的奇偶性
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-13 B.13 C.-12 D.12
答案 B
解析 依题意得:f(-x)=f(x),∴b=0,
又 a-1=-2a,∴a=13,∴a+b=13.故选:B.
2.下列说法正确的是( )
A.若一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数
B.若一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称
C.若一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数
D.若函数f(x)的定义域为R,且f(0)=0,则f(x)是奇函数
答案 B
解析 奇偶函数的定义域一定关于原点对称,但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶
性,如y=x+1.由此可判断A、C项错误,B项正确.奇函数若在原点处有定义,
则f(0)=0,反之不一定成立,如y=x2,因此D项错误.故选B.
3.函数f(x)=3-x2x的图象关于( )
A.原点对称 B.轴对称 C.y轴对称 D.直线y=x对称
答案 A
解析 根据题意,f(x)=3-x2x,有f(-x)=-3-x2x,
则有f(-x)=-f(x),其图象关于原点对称,故选:A.
4.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值为6,那么f(x)在区间[-5,-1]上是( )
A.减函数且最大值为-6 B.增函数且最大值为6
C.减函数且最小值为-6 D.增函数且最小值为6
答案 A
解析 当-5≤x≤-1时1≤-x≤5,
∴f(-x)≥6,即-f(x)≥6.从而f(x)≤-6,
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同,
故f(x)在[-5,-1]是减函数.
故选:A.
5.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是减函数,则 ( )
A.f(-32)0时,-x<0,代入函数在(-∞,0)上的解析式,即得f(-x)=-x(1-x),
∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x(1-x).
四、解答题
10.已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=3x2-x+1,试求f(x)和g(x)的表达式.
答案 f(x)=-x,g(x)=3x2+1
解析 以-x代替条件等式中的x,则有f(-x)+g(-x)=3x2+x+1,
又f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,
故-f(x)+g(x)=3x2+x+1.
又f(x)+g(x)=3x2-x+1,
联立可得fx=-x,g(x)=3x2+1.
11.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为(-1,1)上的奇函数,且a>0.
(1)用定义证明:函数f(x)在(-1,1)上是增函数;
(2)若实数t满足f(2t-1)+f(t-1)<0,求实数t的范围.
答案 (1)略 (2) (0,23)
解析 (1)∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为(-1,1)上的奇函数,
∴f(0)=b1=0,∴b=0,
∴fx=ax1+x2
任取x1,x2∈(-1,1),且x10,-10,1+x12>0,1+x22>0,
∴函数f(x)在(-1,1)上是增函数.
(2)∵f(2t-1)+f(t-1)<0,∴f2t-1<-f(t-1),
∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为(-1,1)上的奇函数,且a>0.∴f(2t-1)0的解集为( )
A.{x|-32}
C.{x|-33} D.{x|-10,所以(x-1)与f(x-1)同号,
由图象可得-20,且x1+x2<-2,则f-x1 与 f-x2的大小关系是( )
A. f-x1>f-x2 B.f-x12+x2>2,y=f(x)在[1,+∞)上为增函数,
所以f-x1>f2+x2=f-x2.
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)为增函数,且f(3)=0,那么不等式xf(x)<0的解集是( )
A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(0,3)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(3)=0,
∴f(3)=-f(-3)=0,在(-∞,0)内是增函数
∴x f(x)<0则 x>0f(x)<0=f(3)或 x<0f(x)>0=f(-3)
根据在(-∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数,解得x∈(-3,0)∪(0,3)
故选:C.
5.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是( )
A.-4 B.4 C.4或-4 a.不存在
答案 B
解析 由函数f(x)=1-x2x2+ax-5的图象关于直线x=0对称,知f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),即1-x2x2-ax-5=1-x2x2+ax-5,
整理得2axx2-1=0总成立,得a=0,
∴f(x)=1-x2x2-5,
令x2=t(t≥0),则y=(1-t)(t-5)=-t2+6t-5=-(t-3)2+4,
∴当t=3时,y有最大值4,即f(x)的最大值是4.
故选:B.
二、多选题
6. 若函数f(x+1)(x∈R)是奇函数,g(x)=x⋅f(x)是奇函数,则下列选项一定正确的是( )
A. 函数f(x)图象关于点(1,0)对称 B. 函数f(x)的周期为1
C. f(2021)=0 D. f(2022)=0
答案 AC
解析 因为g(x)=x⋅f(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即-x⋅f(-x)=-x⋅f(x),所以f(-x)=f(x),f(x)是偶函数,因为f(x+1)是奇函数,所以函数f(x+1)图像关于点(0,0)对称,所以函数f(x)图像关于点(1,0)对称,因此选项A正确,f(x+4)=f[(x+3)+1]=-f[-(x+3)+1]=-f(-x-2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是周期函数,最小正周期为4,故选项B错误因此f(2021)=f(1)=0,故选项C正确,f(2022)=f(2)不一定为0,故选项D错误,故选:AC.
三、填空题
7.函数f(x)=4-x2|x+3|-3的图象关于 对称.
答案 原点
解析 要使函数有意义,则4-x2≥0|x+3|-3≠0,即(x-2)(x+2)<0,
解得-20的解集为 .
答案 (13,+∞)
解析 函数f(x)为奇函数,且函数f(x)为增函数,
则不等式f(2x)+f(x-1)>0等价为f(2x)>-f(x-1)=f(1-x),
则2x>1-x,得3x>1,得x>13,
即不等式的解集为(13,+∞).
四、解答题
10.若函数f(x)的定义域是R,且对任意x,y∈R,都有fx+y=fx+f(y)成立.试判断f(x)的奇偶性.
答案 奇函数
解析 在fx+y=fx+f(y)中,
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.
再令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,
∴f-x=-f(x),故f(x)为奇函数.
11.已知定义在R奇函数f(x)=2x-a2x+b.
(1)求a,b的值; (2)判断并证明f(x)在R上的单调性; (3)求该函数的值域.
答案 (1) &a=1&b=1 (2) f(x)在R上是增函数 (3) (-1,1)
解析 (1)因为f(x)是R上的奇函数,所以&f(0)=0&f(-1)=-f(1),
即&1-a1+b=0&12-a12+b=-2-a2+b,解得&a=1&b=1;
(2)由(1)知f(x)=2x-12x+1,设x1,x2∈R,且 x10,
所以fx1-fx2<0,即fx10,得2x+1>1,所以0<22x+1<2,
所以-1<1-22x+1<1,即-1