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专题6.1 平面向量的概念-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）
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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4576" 【题型1 向量概念的理解】 PAGEREF _Tc4576 \h 2
\l "_Tc5775" 【题型2 零向量与单位向量】 PAGEREF _Tc5775 \h 3
\l "_Tc11245" 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 PAGEREF _Tc11245 \h 5
\l "_Tc5958" 【题型4 向量相等或共线的判断】 PAGEREF _Tc5958 \h 9
\l "_Tc20945" 【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】 PAGEREF _Tc20945 \h 11
【知识点1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
注：
①用字母表示向量便于向量运算；
②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量
就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注：
①向量的模．
②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
【题型1 向量概念的理解】
【例1】（2023下·山西阳泉·高一校考期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【解题思路】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
【变式1-1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（ ）
A．频率B．拉力C．体积D．距离
【解题思路】根据向量与数量的意义直接判断即可.
【解题思路】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B.
【变式1-2】（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段MN→和有向线段NM→的长度相等
【解题思路】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.
【解题思路】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；
B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；
C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；
D：有向线段MN→和有向线段NM→的长度相等，故D对.
故选：D.
【变式1-3】（2023·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量CD与向量DC长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【解题思路】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.
【解题思路】A.CD和DC长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
【题型2 零向量与单位向量】
【例2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度D．零向量就是实数0
【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.
【解题思路】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
【变式2-1】（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断.
【解题思路】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．
故选：B.
【变式2-2】（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
【解题思路】根据零向量和单位向量的概念求解.
【解题思路】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，
任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.
故选：C.
【变式2-3】（2022·高一课时练习）已知向量a,b是两个非零向量，AO,BO分别是与a,b同方向的单位向量，则以下各式正确的是（ ）
A．AO=BOB．AO=BO或AO=OB
C．AO=OBD．AO与BO的长度相等
【解题思路】利用已知条件，结合方向相同的向量、单位向量的意义判断作答.
【解题思路】依题意，a≠0,b≠0，显然向量a,b的关系不确定，
而AO与a同方向，BO与b同方向，因此AO与BO关系不确定，A，B，C都错误，
又AO,BO都是单位向量，所以AO与BO的长度相等，D正确.
故选：D.
【题型3 向量的几何表示与向量的模】
【例3】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求DA的模．
【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形ABCD是平行四边形，则可求得DA的模.
【解题思路】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为(−2,0)，
又因为D点在B点的正北方，所以CD⊥BD，
又CB=2003，所以DB=2002，即D、 C两点在坐标系中的坐标为(−2,22)，(−4,22)；
即可作出AB、BC、CD如下图所示.
（2）如图，作出向量DA，
由题意可知，CD//AB且CD=AB=200，
所以四边形ABCD是平行四边形，
则DA=BC=2003，
所以DA的模为2003m.
【变式3-1】（2023下·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量AB,BC,CD；
（2）求|AD|．
【解题思路】（1）根据题设以AB为正东方向，过A垂直于AB向上为正北方向，结合题设画出向量即可.
（2）由题设知AB//CD，易知ABCD为平行四边形，即可求|AD|.
【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量AB,BC,CD即为所求．
（2）根据题意，向量AB与CD方向相反，故向量AB//CD，又|AB|=|CD|，
∴在ABCD中，AB//CD,AB=CD，故ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，则|AD|=|BC|=400（海里）．
【变式3-2】（2023·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；
（2）AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；
（3）BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.
【解题思路】（1）由点A在点O北偏东45°处和|OA|＝42，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量OA；
（2）由点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量|AB|；
（3）由点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，作出向量|BC|．
【解题思路】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量|AB|如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量|BC|如下图所示．
【变式3-3】（2023下·安徽淮北·高一校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)OA=3，点A在点O的正西方向；
(2)OB=32，点B在点O的北偏西45∘方向；
(3)求出AB的值．
【解题思路】（1）根据向量的大小和方向，作向量OA，
（2）根据向量的大小和方向，作向量OB，
（3）根据向量的模的定义求AB.
【解题思路】（1）因为OA=3，点A在点O的正西方向，故向量OA的图示如下：
（2）因为OB=32，点B在点O的北偏西45∘方向，故向量OB的图示如下：
（3）
AB=OB2−OA2=3.
【知识点2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
【题型4 向量相等或共线的判断】
【例4】（2023下·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【解题思路】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.
【解题思路】图中与OA共线的向量有：
AO,BC,CB,OD,DO,EF,FE,AD,DA，共9个，
故选：C.
【变式4-1】（2022·高一课前预习）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ ）
A．AB与AC共线B．DE与CB共线
C．CD与AE相等D．AD与BD相等
【解题思路】根据向量共线概念即可求解结果．
【解题思路】因为AB与AC不平行，所以AB与AC不共线，A错
因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故DE与CB共线，B正确；
因为CD与AE不平行，所以CD与AE不相等，C错；
因为AD=DB=−BD，则D错．
故选：B.
【变式4-2】（2023下·高一课时练习）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量.
【解题思路】（1）根据共线向量定义直接求解即可；
（2）根据向量相等的定义直接求解即可.
【解题思路】解：（1）OA，CB，DO，FE是共线向量；
OB，DC，EO，AF是共线向量；OC，AB，ED，FO是共线向量.
（2）OA=CB=DO；OB=DC=EO；OC=AB=ED=FO.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△ABC的边长为a，写出图中给出的长度为a3的所有向量中，
（1）与向量GH相等的向量；
（2）与向量GH共线的向量；
（3）与向量EA平行的向量.
【解题思路】（1）利用相等向量定义可得解；
（2）利用共线向量定义可得解；
（3）利用平行向量定义可得解.
【解题思路】（1）与向量GH相等的向量，即与向量GH大小相等，方向相同的向量，有HC，LB′；
（2）与向量GH共线的向量，即与向量GH方向相同或相反的向量，有HC，LB′，GB，LE，EC′；
（3）与向量EA平行的向量，即与向量EA方向相同或相反的向量，有EF，FB，HA′，HK，KB′.
【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】
【例5】（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，BO=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解题思路】由AO=OC，BO=OD可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明.
【解题思路】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，BO=OD．
所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
所以四边形ABCD是平行四边形．
即证.
【变式5-1】（2023·高一课时练习）在四边形ABCD中，已知AB=DC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【解题思路】根据平面向量相等的概念，即可证明AB=DC，且AB//DC，由此即可证明结果.
【解题思路】证明：在四边形ABCD中， AB=DC，
所以AB=DC，且AB//DC
所以四边形ABCD为平行四边形．
【变式5-2】（2022·高一课时练习）已知点E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=HG．
【解题思路】连接AC，易得EF，HG分别为△ABC和△ADC的中位线，进而可得EF//HG，且EF=HG，又向量EF与HG方向相同，从而得证.
【解题思路】证明：如图，连接AC，
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF为△ABC的中位线，
所以EF//AC，且EF=12AC，
同理，因为G，H分别是CD，DA的中点，所以HG//AC，且HG=12AC，
所以EF//HG，且EF=HG，
因为向量EF与HG方向相同，所以EF=HG.
【变式5-3】（2023下·高一课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：CN=//MA.
【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出CN=//MA.
【解题思路】证明：由AB=DC可知AB=DC且AB//DC，
所以四边形ABCD为平行四边形，
从而AD=BC.
又M，N分别是BC，AD的中点，于是AN=MC.
所以AN=MC且AN//MC.
所以四边形AMCN是平行四边形.
从而CN=//MA.
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4576" 【题型1 向量概念的理解】 PAGEREF _Tc4576 \h 2
\l "_Tc5775" 【题型2 零向量与单位向量】 PAGEREF _Tc5775 \h 3
\l "_Tc11245" 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 PAGEREF _Tc11245 \h 5
\l "_Tc5958" 【题型4 向量相等或共线的判断】 PAGEREF _Tc5958 \h 9
\l "_Tc20945" 【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】 PAGEREF _Tc20945 \h 11
【知识点1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
注：
①用字母表示向量便于向量运算；
②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量
就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注：
①向量的模．
②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
【题型1 向量概念的理解】
【例1】（2023下·山西阳泉·高一校考期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【解题思路】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
【变式1-1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（ ）
A．频率B．拉力C．体积D．距离
【解题思路】根据向量与数量的意义直接判断即可.
【解题思路】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B.
【变式1-2】（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段MN→和有向线段NM→的长度相等
【解题思路】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.
【解题思路】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；
B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；
C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；
D：有向线段MN→和有向线段NM→的长度相等，故D对.
故选：D.
【变式1-3】（2023·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量CD与向量DC长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【解题思路】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.
【解题思路】A.CD和DC长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
【题型2 零向量与单位向量】
【例2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度D．零向量就是实数0
【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.
【解题思路】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
【变式2-1】（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断.
【解题思路】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．
故选：B.
【变式2-2】（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
【解题思路】根据零向量和单位向量的概念求解.
【解题思路】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，
任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.
故选：C.
【变式2-3】（2022·高一课时练习）已知向量a,b是两个非零向量，AO,BO分别是与a,b同方向的单位向量，则以下各式正确的是（ ）
A．AO=BOB．AO=BO或AO=OB
C．AO=OBD．AO与BO的长度相等
【解题思路】利用已知条件，结合方向相同的向量、单位向量的意义判断作答.
【解题思路】依题意，a≠0,b≠0，显然向量a,b的关系不确定，
而AO与a同方向，BO与b同方向，因此AO与BO关系不确定，A，B，C都错误，
又AO,BO都是单位向量，所以AO与BO的长度相等，D正确.
故选：D.
【题型3 向量的几何表示与向量的模】
【例3】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求DA的模．
【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形ABCD是平行四边形，则可求得DA的模.
【解题思路】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为(−2,0)，
又因为D点在B点的正北方，所以CD⊥BD，
又CB=2003，所以DB=2002，即D、 C两点在坐标系中的坐标为(−2,22)，(−4,22)；
即可作出AB、BC、CD如下图所示.
（2）如图，作出向量DA，
由题意可知，CD//AB且CD=AB=200，
所以四边形ABCD是平行四边形，
则DA=BC=2003，
所以DA的模为2003m.
【变式3-1】（2023下·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量AB,BC,CD；
（2）求|AD|．
【解题思路】（1）根据题设以AB为正东方向，过A垂直于AB向上为正北方向，结合题设画出向量即可.
（2）由题设知AB//CD，易知ABCD为平行四边形，即可求|AD|.
【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量AB,BC,CD即为所求．
（2）根据题意，向量AB与CD方向相反，故向量AB//CD，又|AB|=|CD|，
∴在ABCD中，AB//CD,AB=CD，故ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，则|AD|=|BC|=400（海里）．
【变式3-2】（2023·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；
（2）AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；
（3）BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.
【解题思路】（1）由点A在点O北偏东45°处和|OA|＝42，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量OA；
（2）由点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量|AB|；
（3）由点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，作出向量|BC|．
【解题思路】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量|AB|如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量|BC|如下图所示．
【变式3-3】（2023下·安徽淮北·高一校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)OA=3，点A在点O的正西方向；
(2)OB=32，点B在点O的北偏西45∘方向；
(3)求出AB的值．
【解题思路】（1）根据向量的大小和方向，作向量OA，
（2）根据向量的大小和方向，作向量OB，
（3）根据向量的模的定义求AB.
【解题思路】（1）因为OA=3，点A在点O的正西方向，故向量OA的图示如下：
（2）因为OB=32，点B在点O的北偏西45∘方向，故向量OB的图示如下：
（3）
AB=OB2−OA2=3.
【知识点2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
【题型4 向量相等或共线的判断】
【例4】（2023下·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【解题思路】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.
【解题思路】图中与OA共线的向量有：
AO,BC,CB,OD,DO,EF,FE,AD,DA，共9个，
故选：C.
【变式4-1】（2022·高一课前预习）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ ）
A．AB与AC共线B．DE与CB共线
C．CD与AE相等D．AD与BD相等
【解题思路】根据向量共线概念即可求解结果．
【解题思路】因为AB与AC不平行，所以AB与AC不共线，A错
因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故DE与CB共线，B正确；
因为CD与AE不平行，所以CD与AE不相等，C错；
因为AD=DB=−BD，则D错．
故选：B.
【变式4-2】（2023下·高一课时练习）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量.
【解题思路】（1）根据共线向量定义直接求解即可；
（2）根据向量相等的定义直接求解即可.
【解题思路】解：（1）OA，CB，DO，FE是共线向量；
OB，DC，EO，AF是共线向量；OC，AB，ED，FO是共线向量.
（2）OA=CB=DO；OB=DC=EO；OC=AB=ED=FO.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△ABC的边长为a，写出图中给出的长度为a3的所有向量中，
（1）与向量GH相等的向量；
（2）与向量GH共线的向量；
（3）与向量EA平行的向量.
【解题思路】（1）利用相等向量定义可得解；
（2）利用共线向量定义可得解；
（3）利用平行向量定义可得解.
【解题思路】（1）与向量GH相等的向量，即与向量GH大小相等，方向相同的向量，有HC，LB′；
（2）与向量GH共线的向量，即与向量GH方向相同或相反的向量，有HC，LB′，GB，LE，EC′；
（3）与向量EA平行的向量，即与向量EA方向相同或相反的向量，有EF，FB，HA′，HK，KB′.
【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】
【例5】（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，BO=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解题思路】由AO=OC，BO=OD可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明.
【解题思路】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，BO=OD．
所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
所以四边形ABCD是平行四边形．
即证.
【变式5-1】（2023·高一课时练习）在四边形ABCD中，已知AB=DC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【解题思路】根据平面向量相等的概念，即可证明AB=DC，且AB//DC，由此即可证明结果.
【解题思路】证明：在四边形ABCD中， AB=DC，
所以AB=DC，且AB//DC
所以四边形ABCD为平行四边形．
【变式5-2】（2022·高一课时练习）已知点E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=HG．
【解题思路】连接AC，易得EF，HG分别为△ABC和△ADC的中位线，进而可得EF//HG，且EF=HG，又向量EF与HG方向相同，从而得证.
【解题思路】证明：如图，连接AC，
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF为△ABC的中位线，
所以EF//AC，且EF=12AC，
同理，因为G，H分别是CD，DA的中点，所以HG//AC，且HG=12AC，
所以EF//HG，且EF=HG，
因为向量EF与HG方向相同，所以EF=HG.
【变式5-3】（2023下·高一课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：CN=//MA.
【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出CN=//MA.
【解题思路】证明：由AB=DC可知AB=DC且AB//DC，
所以四边形ABCD为平行四边形，
从而AD=BC.
又M，N分别是BC，AD的中点，于是AN=MC.
所以AN=MC且AN//MC.
所以四边形AMCN是平行四边形.
从而CN=//MA.
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