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专题6.2 平面向量的运算-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）
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这是一份专题6.2 平面向量的运算-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册），文件包含专题62平面向量的运算举一反三人教A版必修第二册原卷版docx、专题62平面向量的运算举一反三人教A版必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18992" 【题型1 向量的加减运算】 PAGEREF _Tc18992 \h 3
\l "_Tc6316" 【题型2 平面向量的混合运算】 PAGEREF _Tc6316 \h 4
\l "_Tc24962" 【题型3 由平面向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Tc24962 \h 5
\l "_Tc19347" 【题型4 向量共线定理的应用】 PAGEREF _Tc19347 \h 7
\l "_Tc23381" 【题型5 根据向量关系判断三角形的心】 PAGEREF _Tc23381 \h 9
\l "_Tc12061" 【题型6 向量线性运算的几何应用】 PAGEREF _Tc12061 \h 12
【知识点1 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以
表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+.
特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有(
)=.
【题型1 向量的加减运算】
【例1】（2023·云南·高二学业考试）化简AC− BD+ CD− AB得（ ）
A．ABB．DAC．BCD．0
【解题思路】利用向量的加减运算法则化简即可.
【解答过程】AC− BD+ CD− AB =AC+CD−BD+AB=AD−AD=0.
故选：D.
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）OM−BA+BO+MB=（ ）
A．MBB．BAC．ABD．BM
【解题思路】利用平面向量的线性运算化简，求解即可．
【解答过程】由题意可得：OM−BA+BO+MB=BO−BA+OM+MB=AO+OB=AB.
故选：C．
【变式1-2】（2022下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图所示，在△ABC中，BD=6DC，则AD=（ ）
A．17AB+67ACB．67AB+17AC
C．16AB+56ACD．56AB+16AC
【解题思路】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【解答过程】根据向量的线性运算法则，可得：
AD=AB+BD=AB+67BC=AB+67AC−AB=17AB+67AC.
故选：A.
【变式1-3】（2023上·广西南宁·高二校考开学考试）下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A．AB+BC+CAB．AB+AC−BD+CD
C．OA−OD+ADD．NQ+QP+MN−MP
【解题思路】根据向量的加法、减法运算化简即可得解.
【解答过程】因为AB+BC+CA=AC+CA=0，故A错误；
因为AB+AC−BD+CD=AB+AD+DB=AB+AB=2AB，故B正确；
因为OA−OD+AD=OD−OD=0，故C错误；
因为NQ+QP+MN−MP=NP+PN=0，故D错误.
故选：B.
【题型2 平面向量的混合运算】
【例2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简6a−b+c−4a−2b+c−2−2a+c为（ ）
A．6a+2b+8cB．6a−14b
C．−2a−14bD．6a+2b
【解题思路】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.
【解答过程】根据向量的四则运算可知，
6a−b+c−4a−2b+c−2−2a+c=6a−6b+6c−4a+8b−4c+4a−2c=6a+2b.
故选：D.
【变式2-1】（2023上·北京·高二校考阶段练习）设i,j,k是两两不共线的向量，且向量a=−i+2j+4k，b=3i−2j−k，则2a−3b=（ ）
A．11i−2j+5kB．−11i−2j+5kC．−11i+10j+11kD．11i−10j−11k
【解题思路】根据向量基底运算法则直接计算即可.
【解答过程】因为a=−i+2j+4k，b=3i−2j−k，
所以2a−3b=2−i+2j+4k−33i−2j−k=−11i+10j+11k.
故选：C.
【变式2-2】（2023下·浙江·高一校联考阶段练习）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则2MA+3MB+3MC+2MD=（ ）
A．ABB．BCC．CDD．5AB
【解题思路】根据平行四边形性质及向量的线性运算化简得解.
【解答过程】如图，
2MA+3MB+3MC+2MD=2MA+MB+MC+MD+MB+MC
=MB+MC=AM+MB= AB，
故选：A．
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）若a=2b+c，则化简3a+2b−23b+c−2a+b等于（ ）
A．−aB．−b
C．−cD．以上都不对
【解题思路】先化简3a+2b−23b+c−2a+b，再将a=2b+c代入进一步化简即可.
【解答过程】因为a=2b+c，
所以3a+2b−23b+c−2a+b =3a+6b−6b−2c−2a−2b =a−2b−2c
=2b+c−2b−2c =−c，
故选：C.
【题型3 由平面向量的线性运算求参数】
【例3】（2023·山东·校联考模拟预测）在正六边形ABCDEF中，CH=2HD，若AH=xAB+yAF，则x+y=（ ）
A．83B．3C．103D．113
【解题思路】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.
【解答过程】AH=AB+BC+CH=AB+BC+23CD=AB+12AD+23AF
=AB+AB+AF+23AF=2AB+53AF，
所以x=2,y=53，所以x+y=113.
故选：D.
【变式3-1】（2022·高一课时练习）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若DA=2BD,3CD=CA+λBC，则λ=（ ）
A．2B．１
C．-2D．－1
【解题思路】由DA=2BD可得D为线段AB的三等分点中靠近B的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得3CD=CA−2BC，即可求得λ=−2.
【解答过程】解：如图所示：
因为DA=2BD，
所以D为线段AB的三等分点中靠近B的点，
所以CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB−CA)=CA−23CA+23CB=13CA−23BC,
所以3CD=CA−2BC，
所以λ=−2.
故选：C.
【变式3-2】（2022·河南·校联考模拟预测）已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且BD=2BE−BA，若mCE+nAC=AB，则m+n=（ ）
A．7B．6C．3D．2
【解题思路】利用平面向量的线性运算可求出4CE+3AC=AB，则得到m，n的值，进而即可求解．
【解答过程】因为BD=2BE−BA，所以BA+12BC=2BE，
因为BE=BC+CE，所以BA+12BC=2BE=2BC+CE，
所以2CE=−AB−32BC=−AB−32AC−AB=12AB−32AC，
所以4CE+3AC=AB，
因为mCE+nAC=AB，
所以m=4，n=3，故m+n=7.
故选：A．
【变式3-3】（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且AE=2EC，点F为线段AD的中点，记EF=λAB+μADλ,μ∈R，则λ+μ=（ ）
A．−56B．−16C．12D．56
【解题思路】通过向量的线性运算化简向量即可求解.
【解答过程】EF=EA+AF=−23AC+12AD=−23AB+AD+12AD=−23AB−16AD，所以λ=−23，μ=−16，
所以λ+μ=−56.
故选：A.
【知识点2 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化
成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.
【题型4 向量共线定理的应用】
【例4】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量a,b不共线，AB=a+3b，BC=5a+3b，CD=−3a+3b，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线D．B，C，D三点共线
【解题思路】根据向量共线定理进行判断即可.
【解答过程】因为a,b不共线，AB=a+3b，BC=5a+3b，CD=−3a+3b，
易得AB,BC,CD互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；
又AC=AB+BC=6a+6b，易得AC,CD不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；
而BD=BC+CD=2a+6b=2a+3b=2AB，所以A，B，D三点共线，故C正确.
故选：C.
【变式4-1】（2023下·山西·高一统考阶段练习）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB=4e1+2e2，BC=−e1+λe2，CD=e1+1−λe2，且A，C，D三点共线，则λ=（ ）
A．12B．2C．4D．14
【解题思路】根据已知求出AC=3e1+λ+2e2.根据已知可得AC,CD共线，进而得出AC=μCD，代入向量整理得出方程组3−μ=0λ+2−μ+μλ=0，求解即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，AC=AB+BC=3e1+λ+2e2，CD=e1+1−λe2.
因为A，C，D三点共线，所以AC,CD共线，
则∃μ∈R，使得AC=μCD，
即3e1+λ+2e2=μe1+μ1−λe2，
整理可得3−μe1+λ+2−μ+μλe2=0.
因为e1，e2不共线，
所以有3−μ=0λ+2−μ+μλ=0，解得λ=14μ=3.
故选：D.
【变式4-2】（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=mAM,AC=nAN(m,n>0)，则m+n的值为（ ）
A．2B．3C．92D．5
【解题思路】根据AO=12AB+AC=m2AM+n2AN及O,M,N三点共线结论求得m+n的值.
【解答过程】因为点O是BC的中点，
所以AO=12AB+AC，
又因为AB=mAM,AC=nAN(m,n>0)
所以AO=m2AM+n2AN，
因为O,M,N三点共线，
所以m2+n2=1，
所以m+n=2.
故选：A.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC=2BD，CE=2EA，AF=2FB，则（ ）
A．AD+BE+CF与BC反向平行B．AD+BE+CF与BC同向平行
C．3BE+3CF−BC与CA反向平行D．3BE+3CF−BC与CA不共线
【解题思路】将AD、BE、CF用AB和AC表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.
【解答过程】因为DC=2BD，所以BD=13BC，
因为CE=2EA，所以AE=13AC，
因为AF=2FB，所以AF=23AB，
AD=AB+BD =AB+13BC =AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，
BE=AE−AB =13AC−AB，
CF=AF−AC =23AB−AC，
所以AD+BE+CF =23AB+13AC+13AC−AB+23AB−AC =13AB−13AC=13CB=−13BC，
所以AD+BE+CF与BC反向平行，故A正确，B错误；
3BE+3CF−BC =3(13AC−AB)+3(23AB−AC)−BC
=−2AC−AB−BC=−2AC−AC=−3AC=3CA，
所以3BE+3CF−BC与CA同向平行，故CD错误.
故选：A.
【题型5 根据向量关系判断三角形的心】
【例5】（2022·高一课时练习）已知点O是△ABC所在平面上的一点，△ABC的三边为a,b,c，若aOA→+bOB→+cOC→=0→，则点O是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解题思路】在AB，AC上分别取点D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，即可得到四边形ADFE是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到A，O，F三点共线，即可得到O在∠BAC的平分线上，同理说明可得O在其它两角的平分线上，即可判断.
【解答过程】在AB，AC上分别取点D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，则AD→=AE→=1．
以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且AF→=AD→+AE→=AB→c+AC→b．
∴AF为∠BAC的平分线． ∵ aOA→+bOB→+cOC→=0→
∴a⋅OA→+b⋅(OA→+AB→)+c⋅(OA→+AC→)=0→，
即(a+b+c)OA→+bAB→+cAC→=0→，
∴ AO→=ba+b+cAB→+ca+b+cAC→=bca+b+c(AB→c+AC→b)=bca+b+cAF→．
∴A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上．
同理可得O在其它两角的平分线上，
∴O是△ABC的内心．
故选：B．
【变式5-1】（2023·全国·高三对口高考）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
【解题思路】根据向量线性关系可得λ(AB+AC)=AP，结合AB+AC的几何意义判断所过的点，即可得答案.
【解答过程】由题设λ(AB+AC)=OP−OA=AP，
而AB+AC所在直线过BC中点，即与BC边上的中线重合，且λ∈[0,+∞)，
所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.
故选：D.
【变式5-2】（2023下·上海奉贤·高一校考期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足OA+2OB+2OC=0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6B．83C．127D．5
【解题思路】延长OB到D，使OB=BD，延长OC到E，使OC=CE，连接AD,DE,AE，则由已知条件可得O为△ADE的重心，由重心的性质可得S△AOD=S△AOE=S△DOE=S，再结合中点可求出S△AOB,S△AOC，S△BOC的面积，进而可求得答案
【解答过程】解：延长OB到D，使OB=BD，延长OC到E，使OC=CE，连接AD,DE,AE，
因为OA+2OB+2OC=0，所以OA+OD+OE=0，
所以O为△ADE的重心，
所以设S△AOD=S△AOE=S△DOE=S，则S△AOB=S△AOC=12S，S△BOC=14S,
所以S△ABC=12S+12S+14S=54S,
所以S△ABCS△BOC=54S14S=5，
故选：D.
【变式5-3】（2022上·山西太原·高三统考期中）已知点O,P在△ABC所在平面内，满OA+OB+OC=0，PA=PB=PC，则点O,P依次是△ABC的（ ）
A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心
【解题思路】设AB中点为D，进而结合向量加法法则与共线定理得O,D,C三点共线，O在△ABC的中线CD，进而得O为△ABC的重心，根据题意得点P为△ABC的外接圆圆心，进而可得答案.
【解答过程】解：设AB中点为D，因为OA+OB+OC=0，
所以OA+OB+OC=2OD+OC=0，即−2OD=OC，
因为OD,OC有公共点O，
所以，O,D,C三点共线，即O在△ABC的中线CD，
同理可得O在△ABC的三条中线上，即为△ABC的重心；
因为PA=PB=PC，
所以，点P为△ABC的外接圆圆心，即为△ABC的外心
综上，点O,P依次是△ABC的重心，外心.
故选：A.
【题型6 向量线性运算的几何应用】
【例6】（2023·全国·高二课堂例题）如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为△BCD的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．
(1)AG+13BE−12AC；
(2)12AB+AC−AD；
(3)13AB+13AC+13AD．
【解题思路】（1）利用重心的特点和平面向量的加法法则计算即可；
（2）利用向量加法的平行四边形法则和减法法则计算即可；
（3）利用向量的加法法则和减法法则计算即可.
【解答过程】（1）如图，连接EF，∵G是△BCD的重心，∴GE=13BE．
又12CA=EF，∴由向量加法的三角形法则可知，
AG+13BE+12CA=AG+GE+EF=AE+EF=AF．在图中标出如图1.1-14所示．
（2）连接AH，如图，因为E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，
所以12AB+AC−AD=122AH−AD=AH−12AD=AH−AF=FH．在图中标出FH，如图所示．
（3）13AB+13AC+13AD=AB+13AC−AB+13AD−AB
=AB+13BC+BD=AB+23BE=AB+BG=AG．
在图中标出AG，如图所示．
【变式6-1】（2023·全国·高一随堂练习）在△ABC中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，求证：MN=12BC．
【解题思路】根据向量的线性运算将MN,BC分别用AB,AC表示，进而可得出答案.
【解答过程】在△ABC中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，
则BC=AC−AB，
MN=AN−AM=12AC−12AB=12AC−AB，
所以MN=12BC．
【变式6-2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．
【解题思路】根据题意结合向量的线性运算分析证明.
【解答过程】由题意可得：AN+NB=AB=2FC，FC=FN+NC，
所以AN+NB=2FC=2FN+2NC,
由于AN与NC，NB与FN分别共线，但NC与FN不共线，
所以NB=2FN，AN=2NC，因此N是AC的一个三等分点；
同理可证MC=2AM，因此M也是AC的一个三等分点．
【变式6-3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a，AC=b.
(1)试用a，b表示AD；
(2)若点G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？
(3)若点G是△ABC的重心，求GA+GB+GC.
【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可；
（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；
（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.
【解答过程】（1）因为点D是△ABC中BC边的中点，且AB=a，AC=b，
所以AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12AC−AB=12AB+12AC=12a+12b；
（2）因为点G是△ABC的重心，
所以AG=23AD=23AB+BD =23AB+12BC =23AB+12AC−AB =2312AB+AC
=13a+13b.
（3）因为点G是△ABC的重心且D是BC边的中点，所以GB+GC=2GD，
又AG=23AD=2GD，所以GB+GC=AG=−GA，所以GA+GB+GC=0.定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量
加法
的三
角形
法则
前提
已知非零向量,，在平面内任取一点A.
作法
作，连接AC.
结论
向量叫做与的和，记作，即.
图形
向量
加法
的平
行四
边形
法则
前提
已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O.
作法
作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.
结论
以O为起点的向量就是向量与的和，即.
图形
规定
对于零向量与任一向量，我们规定.
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18992" 【题型1 向量的加减运算】 PAGEREF _Tc18992 \h 3
\l "_Tc6316" 【题型2 平面向量的混合运算】 PAGEREF _Tc6316 \h 4
\l "_Tc24962" 【题型3 由平面向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Tc24962 \h 5
\l "_Tc19347" 【题型4 向量共线定理的应用】 PAGEREF _Tc19347 \h 7
\l "_Tc23381" 【题型5 根据向量关系判断三角形的心】 PAGEREF _Tc23381 \h 9
\l "_Tc12061" 【题型6 向量线性运算的几何应用】 PAGEREF _Tc12061 \h 12
【知识点1 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以
表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+.
特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有(
)=.
【题型1 向量的加减运算】
【例1】（2023·云南·高二学业考试）化简AC− BD+ CD− AB得（ ）
A．ABB．DAC．BCD．0
【解题思路】利用向量的加减运算法则化简即可.
【解答过程】AC− BD+ CD− AB =AC+CD−BD+AB=AD−AD=0.
故选：D.
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）OM−BA+BO+MB=（ ）
A．MBB．BAC．ABD．BM
【解题思路】利用平面向量的线性运算化简，求解即可．
【解答过程】由题意可得：OM−BA+BO+MB=BO−BA+OM+MB=AO+OB=AB.
故选：C．
【变式1-2】（2022下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图所示，在△ABC中，BD=6DC，则AD=（ ）
A．17AB+67ACB．67AB+17AC
C．16AB+56ACD．56AB+16AC
【解题思路】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【解答过程】根据向量的线性运算法则，可得：
AD=AB+BD=AB+67BC=AB+67AC−AB=17AB+67AC.
故选：A.
【变式1-3】（2023上·广西南宁·高二校考开学考试）下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A．AB+BC+CAB．AB+AC−BD+CD
C．OA−OD+ADD．NQ+QP+MN−MP
【解题思路】根据向量的加法、减法运算化简即可得解.
【解答过程】因为AB+BC+CA=AC+CA=0，故A错误；
因为AB+AC−BD+CD=AB+AD+DB=AB+AB=2AB，故B正确；
因为OA−OD+AD=OD−OD=0，故C错误；
因为NQ+QP+MN−MP=NP+PN=0，故D错误.
故选：B.
【题型2 平面向量的混合运算】
【例2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简6a−b+c−4a−2b+c−2−2a+c为（ ）
A．6a+2b+8cB．6a−14b
C．−2a−14bD．6a+2b
【解题思路】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.
【解答过程】根据向量的四则运算可知，
6a−b+c−4a−2b+c−2−2a+c=6a−6b+6c−4a+8b−4c+4a−2c=6a+2b.
故选：D.
【变式2-1】（2023上·北京·高二校考阶段练习）设i,j,k是两两不共线的向量，且向量a=−i+2j+4k，b=3i−2j−k，则2a−3b=（ ）
A．11i−2j+5kB．−11i−2j+5kC．−11i+10j+11kD．11i−10j−11k
【解题思路】根据向量基底运算法则直接计算即可.
【解答过程】因为a=−i+2j+4k，b=3i−2j−k，
所以2a−3b=2−i+2j+4k−33i−2j−k=−11i+10j+11k.
故选：C.
【变式2-2】（2023下·浙江·高一校联考阶段练习）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则2MA+3MB+3MC+2MD=（ ）
A．ABB．BCC．CDD．5AB
【解题思路】根据平行四边形性质及向量的线性运算化简得解.
【解答过程】如图，
2MA+3MB+3MC+2MD=2MA+MB+MC+MD+MB+MC
=MB+MC=AM+MB= AB，
故选：A．
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）若a=2b+c，则化简3a+2b−23b+c−2a+b等于（ ）
A．−aB．−b
C．−cD．以上都不对
【解题思路】先化简3a+2b−23b+c−2a+b，再将a=2b+c代入进一步化简即可.
【解答过程】因为a=2b+c，
所以3a+2b−23b+c−2a+b =3a+6b−6b−2c−2a−2b =a−2b−2c
=2b+c−2b−2c =−c，
故选：C.
【题型3 由平面向量的线性运算求参数】
【例3】（2023·山东·校联考模拟预测）在正六边形ABCDEF中，CH=2HD，若AH=xAB+yAF，则x+y=（ ）
A．83B．3C．103D．113
【解题思路】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.
【解答过程】AH=AB+BC+CH=AB+BC+23CD=AB+12AD+23AF
=AB+AB+AF+23AF=2AB+53AF，
所以x=2,y=53，所以x+y=113.
故选：D.
【变式3-1】（2022·高一课时练习）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若DA=2BD,3CD=CA+λBC，则λ=（ ）
A．2B．１
C．-2D．－1
【解题思路】由DA=2BD可得D为线段AB的三等分点中靠近B的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得3CD=CA−2BC，即可求得λ=−2.
【解答过程】解：如图所示：
因为DA=2BD，
所以D为线段AB的三等分点中靠近B的点，
所以CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB−CA)=CA−23CA+23CB=13CA−23BC,
所以3CD=CA−2BC，
所以λ=−2.
故选：C.
【变式3-2】（2022·河南·校联考模拟预测）已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且BD=2BE−BA，若mCE+nAC=AB，则m+n=（ ）
A．7B．6C．3D．2
【解题思路】利用平面向量的线性运算可求出4CE+3AC=AB，则得到m，n的值，进而即可求解．
【解答过程】因为BD=2BE−BA，所以BA+12BC=2BE，
因为BE=BC+CE，所以BA+12BC=2BE=2BC+CE，
所以2CE=−AB−32BC=−AB−32AC−AB=12AB−32AC，
所以4CE+3AC=AB，
因为mCE+nAC=AB，
所以m=4，n=3，故m+n=7.
故选：A．
【变式3-3】（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且AE=2EC，点F为线段AD的中点，记EF=λAB+μADλ,μ∈R，则λ+μ=（ ）
A．−56B．−16C．12D．56
【解题思路】通过向量的线性运算化简向量即可求解.
【解答过程】EF=EA+AF=−23AC+12AD=−23AB+AD+12AD=−23AB−16AD，所以λ=−23，μ=−16，
所以λ+μ=−56.
故选：A.
【知识点2 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化
成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.
【题型4 向量共线定理的应用】
【例4】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量a,b不共线，AB=a+3b，BC=5a+3b，CD=−3a+3b，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线D．B，C，D三点共线
【解题思路】根据向量共线定理进行判断即可.
【解答过程】因为a,b不共线，AB=a+3b，BC=5a+3b，CD=−3a+3b，
易得AB,BC,CD互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；
又AC=AB+BC=6a+6b，易得AC,CD不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；
而BD=BC+CD=2a+6b=2a+3b=2AB，所以A，B，D三点共线，故C正确.
故选：C.
【变式4-1】（2023下·山西·高一统考阶段练习）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB=4e1+2e2，BC=−e1+λe2，CD=e1+1−λe2，且A，C，D三点共线，则λ=（ ）
A．12B．2C．4D．14
【解题思路】根据已知求出AC=3e1+λ+2e2.根据已知可得AC,CD共线，进而得出AC=μCD，代入向量整理得出方程组3−μ=0λ+2−μ+μλ=0，求解即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，AC=AB+BC=3e1+λ+2e2，CD=e1+1−λe2.
因为A，C，D三点共线，所以AC,CD共线，
则∃μ∈R，使得AC=μCD，
即3e1+λ+2e2=μe1+μ1−λe2，
整理可得3−μe1+λ+2−μ+μλe2=0.
因为e1，e2不共线，
所以有3−μ=0λ+2−μ+μλ=0，解得λ=14μ=3.
故选：D.
【变式4-2】（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=mAM,AC=nAN(m,n>0)，则m+n的值为（ ）
A．2B．3C．92D．5
【解题思路】根据AO=12AB+AC=m2AM+n2AN及O,M,N三点共线结论求得m+n的值.
【解答过程】因为点O是BC的中点，
所以AO=12AB+AC，
又因为AB=mAM,AC=nAN(m,n>0)
所以AO=m2AM+n2AN，
因为O,M,N三点共线，
所以m2+n2=1，
所以m+n=2.
故选：A.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC=2BD，CE=2EA，AF=2FB，则（ ）
A．AD+BE+CF与BC反向平行B．AD+BE+CF与BC同向平行
C．3BE+3CF−BC与CA反向平行D．3BE+3CF−BC与CA不共线
【解题思路】将AD、BE、CF用AB和AC表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.
【解答过程】因为DC=2BD，所以BD=13BC，
因为CE=2EA，所以AE=13AC，
因为AF=2FB，所以AF=23AB，
AD=AB+BD =AB+13BC =AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，
BE=AE−AB =13AC−AB，
CF=AF−AC =23AB−AC，
所以AD+BE+CF =23AB+13AC+13AC−AB+23AB−AC =13AB−13AC=13CB=−13BC，
所以AD+BE+CF与BC反向平行，故A正确，B错误；
3BE+3CF−BC =3(13AC−AB)+3(23AB−AC)−BC
=−2AC−AB−BC=−2AC−AC=−3AC=3CA，
所以3BE+3CF−BC与CA同向平行，故CD错误.
故选：A.
【题型5 根据向量关系判断三角形的心】
【例5】（2022·高一课时练习）已知点O是△ABC所在平面上的一点，△ABC的三边为a,b,c，若aOA→+bOB→+cOC→=0→，则点O是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解题思路】在AB，AC上分别取点D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，即可得到四边形ADFE是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到A，O，F三点共线，即可得到O在∠BAC的平分线上，同理说明可得O在其它两角的平分线上，即可判断.
【解答过程】在AB，AC上分别取点D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，则AD→=AE→=1．
以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且AF→=AD→+AE→=AB→c+AC→b．
∴AF为∠BAC的平分线． ∵ aOA→+bOB→+cOC→=0→
∴a⋅OA→+b⋅(OA→+AB→)+c⋅(OA→+AC→)=0→，
即(a+b+c)OA→+bAB→+cAC→=0→，
∴ AO→=ba+b+cAB→+ca+b+cAC→=bca+b+c(AB→c+AC→b)=bca+b+cAF→．
∴A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上．
同理可得O在其它两角的平分线上，
∴O是△ABC的内心．
故选：B．
【变式5-1】（2023·全国·高三对口高考）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
【解题思路】根据向量线性关系可得λ(AB+AC)=AP，结合AB+AC的几何意义判断所过的点，即可得答案.
【解答过程】由题设λ(AB+AC)=OP−OA=AP，
而AB+AC所在直线过BC中点，即与BC边上的中线重合，且λ∈[0,+∞)，
所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.
故选：D.
【变式5-2】（2023下·上海奉贤·高一校考期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足OA+2OB+2OC=0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6B．83C．127D．5
【解题思路】延长OB到D，使OB=BD，延长OC到E，使OC=CE，连接AD,DE,AE，则由已知条件可得O为△ADE的重心，由重心的性质可得S△AOD=S△AOE=S△DOE=S，再结合中点可求出S△AOB,S△AOC，S△BOC的面积，进而可求得答案
【解答过程】解：延长OB到D，使OB=BD，延长OC到E，使OC=CE，连接AD,DE,AE，
因为OA+2OB+2OC=0，所以OA+OD+OE=0，
所以O为△ADE的重心，
所以设S△AOD=S△AOE=S△DOE=S，则S△AOB=S△AOC=12S，S△BOC=14S,
所以S△ABC=12S+12S+14S=54S,
所以S△ABCS△BOC=54S14S=5，
故选：D.
【变式5-3】（2022上·山西太原·高三统考期中）已知点O,P在△ABC所在平面内，满OA+OB+OC=0，PA=PB=PC，则点O,P依次是△ABC的（ ）
A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心
【解题思路】设AB中点为D，进而结合向量加法法则与共线定理得O,D,C三点共线，O在△ABC的中线CD，进而得O为△ABC的重心，根据题意得点P为△ABC的外接圆圆心，进而可得答案.
【解答过程】解：设AB中点为D，因为OA+OB+OC=0，
所以OA+OB+OC=2OD+OC=0，即−2OD=OC，
因为OD,OC有公共点O，
所以，O,D,C三点共线，即O在△ABC的中线CD，
同理可得O在△ABC的三条中线上，即为△ABC的重心；
因为PA=PB=PC，
所以，点P为△ABC的外接圆圆心，即为△ABC的外心
综上，点O,P依次是△ABC的重心，外心.
故选：A.
【题型6 向量线性运算的几何应用】
【例6】（2023·全国·高二课堂例题）如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为△BCD的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．
(1)AG+13BE−12AC；
(2)12AB+AC−AD；
(3)13AB+13AC+13AD．
【解题思路】（1）利用重心的特点和平面向量的加法法则计算即可；
（2）利用向量加法的平行四边形法则和减法法则计算即可；
（3）利用向量的加法法则和减法法则计算即可.
【解答过程】（1）如图，连接EF，∵G是△BCD的重心，∴GE=13BE．
又12CA=EF，∴由向量加法的三角形法则可知，
AG+13BE+12CA=AG+GE+EF=AE+EF=AF．在图中标出如图1.1-14所示．
（2）连接AH，如图，因为E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，
所以12AB+AC−AD=122AH−AD=AH−12AD=AH−AF=FH．在图中标出FH，如图所示．
（3）13AB+13AC+13AD=AB+13AC−AB+13AD−AB
=AB+13BC+BD=AB+23BE=AB+BG=AG．
在图中标出AG，如图所示．
【变式6-1】（2023·全国·高一随堂练习）在△ABC中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，求证：MN=12BC．
【解题思路】根据向量的线性运算将MN,BC分别用AB,AC表示，进而可得出答案.
【解答过程】在△ABC中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，
则BC=AC−AB，
MN=AN−AM=12AC−12AB=12AC−AB，
所以MN=12BC．
【变式6-2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．
【解题思路】根据题意结合向量的线性运算分析证明.
【解答过程】由题意可得：AN+NB=AB=2FC，FC=FN+NC，
所以AN+NB=2FC=2FN+2NC,
由于AN与NC，NB与FN分别共线，但NC与FN不共线，
所以NB=2FN，AN=2NC，因此N是AC的一个三等分点；
同理可证MC=2AM，因此M也是AC的一个三等分点．
【变式6-3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a，AC=b.
(1)试用a，b表示AD；
(2)若点G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？
(3)若点G是△ABC的重心，求GA+GB+GC.
【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可；
（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；
（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.
【解答过程】（1）因为点D是△ABC中BC边的中点，且AB=a，AC=b，
所以AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12AC−AB=12AB+12AC=12a+12b；
（2）因为点G是△ABC的重心，
所以AG=23AD=23AB+BD =23AB+12BC =23AB+12AC−AB =2312AB+AC
=13a+13b.
（3）因为点G是△ABC的重心且D是BC边的中点，所以GB+GC=2GD，
又AG=23AD=2GD，所以GB+GC=AG=−GA，所以GA+GB+GC=0.定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量
加法
的三
角形
法则
前提
已知非零向量,，在平面内任取一点A.
作法
作，连接AC.
结论
向量叫做与的和，记作，即.
图形
向量
加法
的平
行四
边形
法则
前提
已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O.
作法
作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.
结论
以O为起点的向量就是向量与的和，即.
图形
规定
对于零向量与任一向量，我们规定.
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