专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一
向量坐标的线性运算解决几何问题
1．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在直角坐标系xOy中，向量OA=1,−1，OB=8,m，OC=7,3，OD=x,y，其中m，x，y∈R.
(1)若A ，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若四边形ABCD为菱形，求x+y的值.
2．（2023下·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知点O0,0，A2,1，B4,3及OP=OA+tOB.
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
3．（2023下·广西南宁·高一校考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，A(1,0),B(0,1),C(2,5)．
(1)求点D的坐标；
(2)设向量AB与AC夹角为θ，求csθ的值；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
4．（2023下·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点A−1,2，B1,1，记OA=a，OB=b．
(1)设a在b上的投影向量为λe（e是与b同向的单位向量），求λ的值；
(2)若四边形OABC为平行四边形，求点C的坐标．
5．（2023·全国·高一专题练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，AB=2千米，AC=23千米，BC=4千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若AD=xAB+yAC，求实数x､y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
题型二
用向量证明线段垂直
用向量证明线段垂直
用向量证明线段垂直
6．（2023下·宁夏银川·高一校考期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90∘,AB=AC,E,F分别为边AB,BC上的点，且AE=EB,2BF=FC.设AB=a,AC=b.

(1)用a,b表示CE,AF；
(2)用向量的方法证明：CE⊥AF.
7．（2023下·陕西西安·高一统考期末）已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N为AB中点，设AM与CN相交于点P.

(1)请用AB、AC表示向量AM；
(2)设AB和AC的夹角为θ，若csθ=14，且AC=2AB，求证：CN⊥AB.
8．（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．
（1）证明：AG⊥CE；
（2）当点C在BG的什么位置时，CH⋅CE最小？
9．（2023·高一课时练习）如图，在ΔABC中，BC、CA、AB的长分别为a, b, c.
（1）求证：a=bcsC+ccsB；
（2）若AB⋅BC+c2=0，试证明ΔABC为直角三角形.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量AB=a，AD=b．

（1）求|a−b|的值；
（2）用a，b表示BD和AM；
（3）证明：AB⊥BD．
题型三
用向量解决几何中的夹角问题
11．（2023下·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，AB=4，AD=2，点E为AB上一点

(1)若DE⊥AC，求AE的长；
(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求cs∠CME．
12．（2023下·湖南常德·高一校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．

(1)求∠EMF的余弦值．
(2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由．
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，点D在BC上，且BD=2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于O点.
(1)求线段AD，BE的长；
(2)求∠EOD的余弦值.
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=62，∠BAC=45°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求∠BAM的正弦值；
(2)求∠MPN的余弦值．
15．（2023下·安徽蚌埠·高一统考期末）如图，在△ABC中，AC=2，AB=4．点D在边BC上，且CD=tCB．
(1)t=12，A=2π3，求AD；
(2)t=15，AD恰为BC边上的高，求角A；
(3)AD=3，求t的取值范围．
题型四
用向量解决线段的长度问题
16．（2023下·四川成都·高一石室中学校考期中）如图，已知△ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，点I是△ABC的内切圆圆心（即△ABC三条内角平分线的交点），直线AI与BC交于点D.

(1)设AD=mAB+nAC，求m和n的值；
(2)求线段AI的长.
17．（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD=12DC,BE=12EA,AF=12FC,DE⋅DF=−4.
(1)求BC的长；
(2)求AD的长.
18．（2023下·广东广州·高一校考期中）如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC边的中点，CE⊥AB,AD与CE交于点F.
(1)求CE和AD的长度；
(2)求cs∠CFD.
19．（2023·全国·高一专题练习）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是BD，AC的中点，求证：EF=BC−AD2.
20．（2023·全国·高一专题练习）若E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求|AB+DC||HF|的值；
（2）证明：四边形EFGH为平行四边形.
题型五
向量与几何最值（范围）问题
21．（2023下·江西九江·高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π3，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．
(1)若AP=PD，AQ=xBA+yBC，求x，y的值；
(2)求PA+PB⋅PC最小值．
22．（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，AB⋅AC=−1，CP=λCB0≤λ≤1，Q为线段CA延长线上的一点，且AQ=tACt<0.
(1)当t=−1且λ=12，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；
(2)若PA⋅PQ+3=AP⋅AB，求t的最大值.
23．（2023下·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，点P1、P2、P3是BC边的四等分点.
(1)求AB⋅AP1+AP1⋅AC的值；
(2)若Q为线段AP1上一点，且AQ=mAB+112AC，求实数m的值；
(3)若P为线段AP3上的动点，求PA⋅PC的最小值，并指出当PA⋅PC取最小值时点P的位置.
24．（2023·全国·高一专题练习）在锐角△ABC中，csB=22，点O为△ABC的外心.
(1)若BO=xBA+yBC，求x+y的最大值；
(2)若b=2，
（i）求证：OB+sin2A⋅OA−cs2A⋅OC=0；
（ii）求3OB+2OA+OC的取值范围.
25．（2023下·全国·高一专题练习）在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC．
(1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求PB⋅PC的取值范围；
(2)若AD上一点K满足DK=2KA，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，△AMN的面积为S1，四边形BCNM的面积为S2，且S2=kS1，求实数k的最大值．
题型六
向量在物理中的应用
26．（2023·全国·高一随堂练习）如图，质量m=2.0kg的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角θ=30°的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．g=9.8N/kg

(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
27．（2023下·山西阳泉·高一校考期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度d=1km，一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小为v2=4km/h.设v1和v2的夹角为θ0∘<θ<180∘，北岸上的点A′在点A的正北方向.

(1)若游船沿AA′到达北岸A′点所需时间为6min，求v1的大小和csθ的值；
(2)当θ=60∘,v1=10km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
28．（2023·高一课时练习）已知两个力F1=5i+4j，F2=−2i+j，F1，F2作用于同一质点，使该质点从点A8,0移动到点B20,15(其中i，j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)F1，F2分别对质点所做的功；
(2)F1，F2的合力F对质点所做的功．
29．（2023·全国·高一专题练习）如图，设Ox、Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对x,y叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，设OP=2e1+e2.
(1)计算OP的大小；
(2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿xO→的方向，乙沿Oy→的方向同时以4千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用e1 与e2 来表示CD ；
②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求GH 的最小值.
30．（2023·全国·高一随堂练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d=1 km．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小为|v2|=4km/h．设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A′在A的正北方向．
(1)当θ=120°时，试判断游船航行到达北岸的位置是在A′的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当csθ多大时，游船能到达A′处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
(3)当θ=120°时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？