数学必修 第一册第二章 函数3 函数的单调性和最值优秀第2课时2课时教案及反思

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第2课时 函数的最大(小)值








函数最大值与最小值


思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？


提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)任何函数都有最大(小)值．( )


(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).( )


(3)函数的最大值一定比最小值大．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )





A.－1，0 B．0，2


C．－1，2 D． eq \f(1,2)，2


C [由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]


3．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )


A．有最大值 B．有最小值


C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值


D [∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)

4．函数f(x)＝ eq \f(1,x)，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为_______，最小值为______．


eq \f(1,6) eq \f(1,2) [∵f(x)＝ eq \f(1,x)在区间[2，6]上为减函数，


∴f(6)≤f(x)≤f(2)，即 eq \f(1,6)≤f(x)≤ eq \f(1,2).]








利用函数的图象求函数的最值(值域)


【例1】 已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈（2，5].))


(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；


(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．


[解] (1)图象如图所示：





(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3].





利用图象求函数最值的方法


(1)画出函数y＝f(x)的图象；


(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；


(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1，))求f(x)的最大值、最小值．


[解] 作出函数f(x)的图象(如图).





由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，


故f(x)的最大值为1，最小值为0.





利用函数的单调性求最值(值域)


【例2】 已知函数f(x)＝ eq \f(2x＋1,x＋1).


(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；


(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．


[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1

则f(x1)－f(x2)＝ eq \f(2x1＋1,x1＋1)－ eq \f(2x2＋1,x2＋1)＝ eq \f(x1－x2,（x1＋1）（x2＋1）)，


因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，


所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)

所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．


(2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，


所以f(x)的最小值为f(2)＝ eq \f(2×2＋1,2＋1)＝ eq \f(5,3)，


最大值f(4)＝ eq \f(2×4＋1,4＋1)＝ eq \f(9,5).





1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤


(1)判断函数的单调性．


(2)利用单调性求出最大(小)值．


2．函数的最大(小)值与单调性的关系


(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).


(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．


提醒：(1)求最值勿忘求定义域．


(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．求函数f(x)＝x＋ eq \f(4,x)在[1，4]上的最值．


[解] 设1≤x1

∵1≤x1

∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，


∴f(x1)>f(x2)，


∴f(x)在[1，2)上是减函数．


同理f(x)在[2，4]上是增函数．


∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；


当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.





函数最值的实际应用


【例3】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)


(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；


(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？


[解] (1)当020时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋32x－100，020))(x∈N*).


(2)当020时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．


即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．





解实际应用题的四个步骤


(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．


(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．


(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).


(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？


[解] 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.


故当x＝70时，y最大值＝9 000.


即售价为70元时，利润最大值为9 000元．





二次函数的最值问题


[探究问题]


1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？


提示：





2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？


提示：若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－ eq \f(b,2a)与区间[m，n]的关系．


【例4】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0，1]上的最大值．


[思路点拨] eq \x(f（x）＝x2－ax＋1) eq \(――――→,\s\up9(分类讨论))


eq \x(\A\AL(分析x＝\f(a,2)与,[0，1]的关系)) eq \(――――→,\s\up9(数形结合)) eq \x(求f（x）的最大值)


[解] 因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝ eq \f(a,2)，


当 eq \f(a,2)≤ eq \f(1,2)，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；


当 eq \f(a,2)> eq \f(1,2)，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.





1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0，1]上的最小值．


[解] (1)当 eq \f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增，∴f(x)最小值＝f(0)＝1.


(2)当 eq \f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减，


∴f(x)最小值＝f(1)＝2－a.


(3)当0< eq \f(a,2)<1，


即0

故f(x)最小值＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))＝1－ eq \f(a2,4).2．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．


[解] 当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝ eq \f(1,2)，


①当t≥ eq \f(1,2)时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)最小值＝f(t)＝t2－t＋1；


②当t＋1≤ eq \f(1,2)，即t≤－ eq \f(1,2)时，f(x)在其上是减函数，


∴f(x)最小值＝f(t＋1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(3,4)＝t2＋t＋1；


③当t< eq \f(1,2)




二次函数在闭区间上的最值


设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：














1．理解函数的最大(小)值


函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．


2．掌握求函数最值的方法


求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：


(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；


(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；


(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．


3．树立数形结合意识


通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．


4．规避易错点


(1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素．


(2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．





1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )


A．[0，3] B．[－1，0]


C．[－1，＋∞) D．[－1，3]


D [∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，


当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D.]


2．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)( )


A．只有最大值


B．只有最小值


C．既有最大值，又有最小值


D．既无最大值，又无最小值


D [f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2（x≥0），,－x2（x＜0），))画出f(x)的图象可知(图略)，f(x)既无最大值又无最小值．]


3．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝______．


1 [若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.]


4．函数g(x)＝2x－ eq \r(x＋1)的值域为________．


eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,8)，＋∞)) [设 eq \r(x＋1)＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，


即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4))) eq \s\up8(2)－ eq \f(17,8)，t≥0，


∴当t＝ eq \f(1,4)时，y最小值＝－ eq \f(17,8)，


∴函数g(x)的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,8)，＋∞)).]学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点)


2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)


3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点)


4．通过本节内容的学习，体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点)
1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．


2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
对称轴与区间的关系
－ eq \f(b,2a)＜m＜n，即－ eq \f(b,2a)∈(－∞，m)
m＜－ eq \f(b,2a)＜n，即－ eq \f(b,2a)∈(m，n)
m＜n＜－ eq \f(b,2a)，即－ eq \f(b,2a)∈(n，＋∞)
图象
最值
f(x)最大值＝f(n)，f(x)最小值＝f(m)
f(x)最大值＝max{f(n)，f(m)}，f(x)最小值＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)))
f(x)最大值＝f(m)，f(x)最小值＝f(n)