考点01 基本初等函数综合题型（基础）-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点01 基本初等函数综合题型（基础）

1.（2020•肥城市模拟）对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，
①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝logax为减函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；
②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝logax为增函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误，而A符合题意．
故选：A．
【知识点】二次函数的性质与图象、对数函数的图象与性质
2.（2020•肇庆三模）已知a＝2log2，c＝5log5，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解答】解：∵a＝2log2，c＝5log5，
∴a＝，，，
∵，，，且310＞215＞56，
∴，
∴c＞a＞b，
故选：D．
【知识点】对数值大小的比较
3.（2020•郑州三模）已知，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【解答】解：∵a6＝＝，b6＝＝，
∴a6＞b6，a，b＞0．
∴1＞a＞b，
c＝log23＞1．
∴b＜a＜c．
故选：C．
【知识点】对数值大小的比较
4.（2020•延庆区一模）某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（　　）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
【解答】解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：＞4，
取对数可得：n＞＝＝6．
∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．
故选：B．
【知识点】等比数列的通项公式、对数的运算性质
5.（2020•山东模拟）已知集合A＝{y|y＝2﹣x，x＜0}，B＝{x|y＝x}，则A∩B＝（　　）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．[0，+∞）
【解答】解：A＝{y|y＝2﹣x，x＜0}＝{y|y＞1}，

∴A∩​B＝（1，+∞）
故选：B．
【知识点】交集及其运算、指数函数的定义、解析式、定义域和值域
6.（2020•衡阳二模）设，，，则（　　）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【解答】解：因为﹣a＝ln2，，﹣c＝log32，又，，
所以﹣b＜﹣c＜﹣a，
即a＜c＜b，
故选：B．
【知识点】对数值大小的比较
7.（2020•安徽模拟）已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：因为a＝log3∈（0，），b＝ln3＞1，c＝2﹣0.99＞2﹣1＝，
故b＞c＞a．
故选：A．
【知识点】对数值大小的比较
8.（2020•滨州二模）设26，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【解答】解：∵0＜0.30.1＜0.30＝1，∴0＜a＜1，
∵b＝log＝log35，而log33＜log35＜log39，∴1＜b＜2，
∵c＝log526＞log525＝2，∴c＞2，
∴c＞b＞a，
故选：D．
【知识点】对数值大小的比较
9.（2020春•沙坪坝区校级期中）已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解答】解：∵0＜1.20.3＜1.21＝1.2，∴1＜a＜1.2，
∵log0.31.2＜log0.31＝0，∴b＜0，
∵log1.23＞log1.21.44＝2，∴c＞2，
∴b＜a＜c，
故选：D．
【知识点】对数值大小的比较
10.（2020•武清区校级模拟）已知函数，设a＝f（log30.1），b＝f（3﹣0.2），c＝f（31.1），则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：根据题意，，其定义域为R，
又由＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，
当x＞0时，易得为增函数，故f（x）在R上单调递增，
又由log30.1＜0，0＜3﹣0.2＜1，31.1＞3，则有f（31.1）＞f（3﹣0.2）＞f（log30.1），即c＞b＞a，
故选：D．
【知识点】对数值大小的比较、函数奇偶性的性质与判断
11.（2020•宁河区校级模拟）设a＝log23，b＝log46，c＝5﹣0.1，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：因为a＝log23∈（1，2），b＝log46＝∈（1，2），且a＞b，
c＝5﹣0.1＝∈（0，1），
所以c＜b＜a．
故选：A．
【知识点】对数值大小的比较
12.（2020•山西模拟）设a＝log30.2，b＝0.23，c＝30.2，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【解答】解：∵a＝log30.2＜0，0＜b＝0.23＜1，c＝30.2＞1，
∴c＞b＞a，
故选：A．
【知识点】对数值大小的比较
13.（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g（x）＝（2a﹣1）xa+1的图象过函数f（x）＝mx﹣b﹣（m＞0，且m≠1）的图象所经过的定点，则b的值等于（　　）
A．± B．± C．2 D．±2
【解答】解：函数g（x）＝（2a﹣1）xa+1是幂函数，
∴2a﹣1＝1，解得a＝1，
∴g（x）＝x2；
令x﹣b＝0，解得x＝b，
∴函数f（x）＝mx﹣b﹣的图象经过定点（b，），
∴b2＝，解得b＝±．
故选：B．
【知识点】幂函数的图象
14.（2020•石家庄一模）若，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：由 可得a＝，c＝log46＝log2，
则 可知，b＞c＞1＞a，
故选：B．
【知识点】对数值大小的比较
15.（2020春•龙华区校级月考）设，，，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【解答】解：∵，∴a＜0，
∵，∴b＞2，
∵，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b，
故选：D．
【知识点】对数值大小的比较
16.（2020春•漳州月考）若a＝log67，b＝log54，c＝log4，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【解答】解：∵a＝log67＞log66＝1，∴a＞1，
∵log51＜log54＜log55，∴0＜b＜1，
∵，∴c＜0，
∴c＜b＜a，
故选：C．
【知识点】对数值大小的比较

17.（2020•广州模拟）已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝　　．
【解答】解：由题意可知，函数y＝f（x）与函数y＝2x互为反函数，
∴f（x）＝log2x，
∴f（4）＝log24＝2，
故答案为：2．
【知识点】反函数
18.（2020春•龙凤区校级月考）已知实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，其中e为自然对数的底数，则αβ＝　　　
【解答】解：实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，
所以α+lnα＝3，lnβ+ln（lnβ﹣1）＝4，
即α+lnα﹣3＝0，lnβ﹣1+ln（lnβ﹣1）﹣3＝0，
所以α和lnβ﹣1是方程x+lnx﹣3＝0的根，
由于方程x+lnx﹣3＝0的根唯一．
所以α＝lnβ﹣1，3﹣lnα＝lnβ﹣1，整理得lnα+lnβ＝4，
所以αβ＝e4．
故答案为：e4．
【知识点】对数的运算性质
19.（2020•攀枝花模拟）已知a＞0，b＞0，若log3a＝log4b＝，则＝　　　　　　．
【解答】解：∵log3a＝log4b＝，
∴＝2，
则＝，
故答案为：．
【知识点】对数的运算性质
20.（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为　　　　　　　　　　　．
【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，
若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，
则y＝f（x+a）与y＝x有交点，
所以，
即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，
故答案为：[，+∞）．

【知识点】反函数
21.（2020•黄浦区一模）已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是　　　　　　　　．
【解答】解：∵函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，
f（x）＝x+log2（2x+2），
设y＝x+，则y﹣x＝，
∴2y﹣x＝2x+2，
∴2y＝22x+2x+1，
∴2x＝＝﹣1，
x＝．
互换x，y，得g（x）＝，
∵f（x）＞log23＞g（x），
∴x+log2（2x+2）＞log23＞，
解得0＜x＜log215．
∴满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是（0，log215）．
故答案为：（0，log215）．
【知识点】反函数
22.（2020•静安区一模）设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，我们可以证明对数的运算性质如下：

我们将⊗式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中M＞0，r∈R）的“关键步骤”为　　　　　　　　　　　　　　　．
【解答】解：设logaMr＝b，∴ab＝Mr，
∴rlogaM＝b，
∴logaM＝，
∴a＝a＝（a）r＝（a）r＝ab＝Mr，
∴关键步骤为：a＝（a）r＝Mr．
【知识点】对数的运算性质

23.（2020•芜湖期末）计算：（log2125+log425+log85）（log52+log254+log1258）
【解答】解：（log2125+log425+log85）（log52+log254+log1258）
＝（）（）
＝（13log85）（9log1252）
＝117×
＝117×＝13．
【知识点】对数的运算性质
24.（2020春•金安区校级月考）已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．
（1）当a＝﹣5时，解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a＝﹣5时，f（x）＝log2（﹣5），
令f（x）＞0，即﹣5＞1，0＜x＜，
故不等式的解集是（0，）；
（2）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即log2（+a）﹣log2（ +a）≤1，
即+a≤2（ +a），即a≥﹣＝，
设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，
当r＝0时，＝0，
当0＜r≤时，＝，
∵y＝r+在（0，）上递减，
∴r+≥+4＝，
∴＝≤＝，
∴实数a的取值范围是a≥．
【知识点】对数函数的图象与性质
25.（2020•咸阳期末）已知函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）计算的值．
【解答】解：（I）∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点，
∴，∴，∴；
（II）由（I）知，a＝，
∴＝．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
26.（2020•河西区期末）已知函数f（x）＝loga（x+1），g（x）＝2loga（2x+m），（m∈R），其中x∈[0，15]，a＞0且a≠1．
（1）若1是关于方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求m的值．
（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求m的取值范围．
【解答】解：由题意：1是关于方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，可得：loga2＝2loga（2+m），解得或
∵2+m＞0
∴不符合题意．
所以m的值为．
（2）f（x）≥g（x）恒成立，等价于恒成立．
即：，x∈[0，15]恒成立．
令，
则
当u＝1时，的最大值为1．
所以：m≥1即可恒成立．
故m的取值范围是[1，+∞）．
【知识点】对数函数的图象与性质
27.（2020•新洲区期末）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝（﹣）2+10﹣10（）+1＝；
（2）原式＝log34﹣log+log38+5＝log+9＝log39+9＝2+9＝11．
【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式
28.（2020•崂山区校级期末）己知25，B＝log2（4B+2A），求A，B的值．
【解答】解：A＝1+3﹣3×+log53•＝4﹣12+2＝﹣6．
B＝，∴2B＝（2B）2﹣12，化为：（2B﹣4）（2B+3）＝0，
∴2B﹣4＝0，解得B＝2．
【知识点】对数的运算性质
29.（2020•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）记函数g（x）＝10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；
（3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝lg（4﹣x2）．
∵g（x）＝10f（x）+3x，
∴函数g（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max＝g（）＝，g（x）min→g（﹣2）＝﹣6，
∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t＝4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值为lg4．
∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．
【知识点】对数函数的图象与性质
30.（2020•聊城期末）（1）计算：；
（2）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）+}，B＝{x|x2﹣9x+20≤0}，C＝{x|a+1≤x＜2a﹣1}．若C⊆（A∪B），求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）原式＝﹣++＝﹣+6+＝．
（2）由，解得3＜x≤．∴集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）+}＝（3，]，
B＝{x|x2﹣9x+20≤0}＝[4，5]，
∴A∪B＝（3，5]，
C＝{x|a+1≤x＜2a﹣1}．
若C⊆（A∪B），则C⊆（A∪B）．
C＝∅时，a+1≥2a﹣1，解得a≤2．
C≠∅时，可得：，解得2＜a≤3．
综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
【知识点】集合的包含关系判断及应用、对数的运算性质