初中人教版21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一课一练

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1．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
2．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
3．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
4．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5B．﹣1C．2D．﹣5
5．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )
A．2006B．2007C．2008D．2009
6．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10B．4C．﹣4D．10
7．一元二次方程的两个根为，则的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
8．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（ ）
A．﹣3B．4C．﹣4D．5
9．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（ ）
A．﹣3B．4C．﹣4D．5
二、填空题
1．设，是一元二次方程的两根，则_______．
2．方程的两根为、则的值为______．
3．已知关于x的一元二次方程的两个根是1和，则mn的值是______．
4．关于x的方程2x2－ax＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．
5．已知方程的一根为，则方程的另一根为_______．
6．对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ．
7．设、是方程的两个根，则________．
8．若方程的两根，则的值为__________．
9．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是___．
10．一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .
11．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
三、解答题
1．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．
2．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
3．已知关于x的一元二次方程
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设是这个方程的两个实根，且，求m的值.
4、已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
5. 关于x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根、．
（1）求p的取值范围；
（2）若p=0，求的值；
（3）若[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，求p的值．
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
同步练习答案解析
单选题。
1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】B
5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】B．
二．填空题。
1．【答案】0 2．【答案】-3 3．【答案】 4．【答案】．
5．【答案】 6．【答案】3或2 7．【答案】5 8．【答案】k≤4
9．【答案】 2 10．【答案】5 11．【答案】（1）k＜；（2）k＝0
三、解答题
1．（1）k＜；（2）k＝0
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，代入x1+x2+x1x2-1=0，即可求出k值．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2
∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0
∴k＜ ；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k ，x1•x2＝k2
∵x1+x2+x1x2﹣1＝0
∴1﹣2k+k2﹣1＝0
∴k＝0或2
∵由（1）得，k＜
∴k＝2舍去
∴k＝0．
2．（1）见解析；（2）a=，x1=﹣
【分析】（1）根据根的判别式即可求解；
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．
【详解】
解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0
得1+a+a﹣2=0，
解得a=；
∴方程为x2+x﹣=0，
即2x2+x﹣3=0，
设另一根为x1，则1×x1==﹣，
∴另一根x1=﹣．
3．（1）；（2）；（3）m无解..
【分析】(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；
(3)由根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=m-1，将变形后代入，即可求出答案.
【详解】
解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根
∴，即
解得.
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得：
，，
∵方程的两根都是正数
∴，即
∴
又∵
∴m的取值范围为
（3）∵
∴
即，
将，代入可得：
，
解得.
而，所以m=4不符合题意，故m无解.
4.【答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形，边长是；（2）▱ABCD的周长是5．
【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5．
5.【答案】（1）；（2）-3；（3）-4．
【分析】（1）一元二次方程有实数根，根据判别式的公式代入即可求p的取值范围；
（2）将p=0代入－x＋p－1＝0化简，再根据根与系数的关系得出与之间的关系，进一步可求得的值，代入即可求解；
（3）将等式变形，结合四个等式：，，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验．
（1）x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根
即
解得：
p的取值范围为：；
（2）将p=0代入－x＋p－1＝0，
即－x－1＝0
，
（3）由[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，得
、为一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根
，
即
或