数学九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案

教学时间

课题

24．1．2 垂直于弦的直径

课型

新授课

教

学

目

标

知　识

和

能　力

探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；

能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．

过　程

和

方　法

在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．

进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．

情　感

态　度

价值观

使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

教学重点

垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．

教学难点

利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．

教学准备

教师

多媒体课件

学生

“五个一”

课  堂  教  学  程  序  设  计

设计意图

一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）

学生活动设计：

学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

教师活动设计：

在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．

二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神

活动2：按下面的步骤做一做：

第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；

第二步，得到一条折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；

第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．

图1                                   图2

在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理)

学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合．因此AM=BM，=，同理得到．

教师活动设计：

在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：

（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

活动3：如图3，所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．

图3

学生活动设计：

学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．

教师活动设计：

在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．

〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8，

在Rt△ADO中

，即．

解得

R＝10（m）．

答：此圆的半径是10 m．

活动4：如图4，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法．

图4

师生活动设计：

根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．

〔解答〕1．连接AB；

2．作AB的中垂线，交于点C，点C就是所求的点．

三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识．

活动5 解决下列问题

1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．

图5                        图6

学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．

〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到

OC⊥AB，OC⊥GF，

根据勾股定理容易计算

OE=1．5米，

OM=3．6米．

所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥．

2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

图7                           图8

师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．

〔解答〕

    如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，

则AE=AB = 30 cm．令⊙O的半径为R，

则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．

在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．

解得R =50 cm．

修理人员应准备内径为100 cm的管道．

小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．

作业

设计

必做

习题24．1 第1题，第8题，第9题．

选做

教

学

反

思