数学24.1.2 垂直于弦的直径教学设计

垂直于弦的直径

【知识与技能】

1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.

2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.

【过程与方法】

通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.

【情感态度】

1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.

2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.

【教学重点】

垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.

【教学难点】

垂径定理及其推论.

一、情境导入，初步认识

你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第82页图24.1-7）

【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.

二、思考探究，获取新知

1.圆的轴对称性

问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

2.垂径定理及其推论

问题2 请同学们完成下列问题：

如右图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD.使CD⊥AB，垂足为E.

（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.

【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识.

【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）.

数学语言：如上图，在⊙O中，AB是弦，直径CD垂直于弦AB.

∴AE=BE. 。

问（1）一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？

【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.

问（2）已知直径AB，弦CD且CE=DE（点E在CD上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）

提示：分E点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：CD是直径或CD是除直径外的弦来讨论.

结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？

【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.

3.利用垂径定理及推论解决实际问题

问题3 如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，则

AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7，

OD=OC-CD=R-7.2.

在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.

即：R2=18.72+(R-7.2)2

解得R≈27.9(m)

∴赵州桥主桥拱半径约为27.9m.

【教学说明】教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.并且在解答过程中，让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用，以及圆的半径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系.

三、运用新知，深化理解

1.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，根据圆的轴对称性可得：CE=______，=______；=______.

2.如图，在⊙O中，MN为直径，若MN⊥AB，则______，______，______，

若AC=BC，AB不是直径，则______，______，______.

3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D. AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是____m.

【教学说明】让学生当堂完成，第1、2题是对垂径定理及其推论的巩固.第3题是对垂径定理的应用，需要将实际问题转化为数学问题.

【答案】1.DE    

2.AC=BC    =   =   MN⊥AB   =  =

3.250

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？

【教学说明】教师应让学生交流总结，然后补充说明，强调定理及其推论的应用.

1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.

2.完成创优作业中本课时 练习的“课时 作业”部分.

1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.

2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，