数学人教版24.1.4 圆周角学案设计

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24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标：
1、理解圆周角的概念．
2、掌握圆周角定理及其推论．
3、理解圆内接四边形的性质，探究四点不共圆的性质．
教学重难点：圆的性质的综合应用．
知识点一：圆周角的定义
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
例题.下列四个图中，∠x是圆周角的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【解答】解：根据圆周角定义：
即可得∠x是圆周角的有：C，不是圆周角的有：A，B，D．
故选C．
【点评】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
变式.下列图形中，是圆周角的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A图中的角为圆内角，B图中的角为圆周角，C图中的角为圆心角，D图中的角为弦切角．
故选B．
【点评】本题考查了圆周角：顶点在圆周上，且两边与圆相交的角叫圆周角．

知识点二：圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
例题1．如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（　　）

A．26° B．30° C．32° D．64°
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠ACB=∠AOB，
而∠AOB=64°，
∴∠ACB=×64°=32°．
即∠ACB的度数是32°．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
　
例题2．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
　　
变式1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（　　）

A．75° B．65° C．60° D．50°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠B=65°，再根据同弧所对的圆周角相等进行求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∠BAD=25°，
∴∠B=65°．
∴∠C=65°．
故选B．
【点评】此题主要是考查了圆周角定理的推论的运用．
　
变式2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（　　）

A．80° B．50° C．40° D．20°
【分析】先根据平行线的性质得∠BCD=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=40°，
∴∠BOD=2∠BCD=80°．
故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的性质．
　　
变式3．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠A=35°，则∠BCD的度数是（　　）

A．55° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据圆周角定理求出∠DBC、∠D的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠A=35°，
∴∠D=∠A=35°，
则∠BCD=90°﹣∠A=55°．
故选：A．

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
　
变式4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=20°，∠D=15°，则∠BAD的度数是（　　）

A．30° B．45° C．20° D．35°
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠DAO与∠BAO的度数，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵OA=OD，OB=OA，
∴∠DAO=∠D=15°，∠BAO=∠B=20°，
∴∠BAD=∠DAO+∠BAO=15°+20°=35°．
故选D．

【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．

知识点三：圆周角定理的推论
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（1）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（2）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
例题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）

A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA
【分析】根据圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴=，AD=DC，故A、B正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正确；
∵无法确定∠DAB=∠CBA，故D错误，符合题意．
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
　
例题2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（　　）

A．14° B．28° C．56° D．84°
【分析】先根据垂径定理得到=，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵BC⊥OA，
∴=，
∴∠AOC=2∠ADB=2×28°=56°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
　　
变式1．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于（　　）

A．90° B．45° C．180° D．60°
【分析】求出∠AOB=180°，根据圆周角定理得出∠1+∠2=∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∵由圆周角定理得：∠1+∠2=∠AOB=90°，
故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，解此题的关键是推出∠1+∠2=∠AOB．
　
变式2．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个点，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（　　）

A．15° B．30° C．60° D．75°
【分析】由AB为⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ADB=90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ACB的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余，求得∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠ACD=15°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=75°．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
　
变式3．如图，AB是半圆O的直径，C、D、E是半圆的四等分点，CH⊥AB于H，连接BD、
EC相交于F点，连接AC、EH，下列结论：
①CE=2CH；②∠ACH=∠CEH；③∠CFD=2∠ACH，
其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．只有①② C．只有①③ D．只有③
【分析】连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图，由于C、D、E是半圆的四等分点，根据垂径定理得到OD⊥CE，CE=2CG，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=45°，根据圆周角定理得∠BCE=∠ABC，再证明四边形CHOG为正方形，则CH=CG，所以CE=2CH；利用等角的余角相等得∠ACH=∠ABC，而∠CEH所对的弧大于AC弧，则∠CEH＞∠ABC，所以∠ACH＜∠CEH；利用CE∥AB得到∠CFD=∠ABD，而∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，于是有∠CFD=2∠ACH．
【解答】解：连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图，
∵C、D、E是半圆的四等分点，
∴OD⊥CE，∠AOC=∠COD=45°，∠BCE=∠ABC，
∴CE=2CG，CE∥AB
∵CH⊥AB，
∴四边形CHOG为正方形，
∴CH=CG，
∴CE=2CH，所以①正确；
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠ABC，
而∠CEH所对的弧大于AC弧，
∴∠CEH＞∠ABC，
∴∠ACH＜∠CEH，所以②错误；
∵CE∥AB，
∴∠CFD=∠ABD，
∵弧AC=弧CD，
∴∠ACB=∠CBD，
∴∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，
∴∠CFD=2∠ACH，所以③正确．
故选C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
　
知识点四：圆内接多边形及圆内接四边形的性质
四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形，且圆内接四边形对角互补
例题．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD等于（　　）

A．105° B．90° C．75° D．60°
【分析】首先连接OD，由四边形OABC为平行四边形，可得∠B=∠AOC，然后由圆的内接四边新的性质以及圆周角定理，可得∠B+∠ADC=180°，∠AOC=2∠ADC，则可求得∠ADC的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接OD，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠B+∠ADC=180°，∠AOC=2∠ADC，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∵OA=OD=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，
∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠ADC=60°．
故选D．

【点评】此题考查了圆周角定理、平行四边形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
　
变式1．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．不能确定
【分析】根据圆周角定理得到∠D=∠AOC，根据平行四边形的性质，得到∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的性质，得到∠B+∠D=180°，得到答案．
【解答】解：∠D=∠AOC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
3∠D=180°，
∴∠D=60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
　
变式2．如图，AB是⊙O的直径，D为的中点，∠B=40°，则∠C的度数为（　　）

A．80° B．100° C．110° D．140°
【分析】首先连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据圆内接四边形对角互补可得∠D=140°，再根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等可得AD=CD，进而可得∠DCA=20°，然后可得答案．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠D=140°，
∵D为的中点，
∴AD=CD，
∴∠DCA=20°，
∴∠DCB=90°+20°=110°，
故选：C．

【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
　
变式3．如图，以AC为斜边在异侧作Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，BD=4，则AC的长度为（　　）

A．8 B．4 C．6 D．
【分析】取AC的中点O，连接OD、OB，根据题意得到A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：取AC的中点O，连接OD、OB，
由Rt△ABC和Rt△ADC可知，A、B、C、D四点共圆，AC为圆的直径，
∵∠BCD=45°，
∴∠BOD=90°，又BD=4，
∴OD=OB=2，
∴AC=4，
故选：B．

【点评】本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的性质，掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
拓展点一：与圆周角有关的计算
例题1．如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的角平分线．
（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）若∠DCE=45°，BD=6，求⊙O的半径．

【分析】（1）欲证明△ABD为等腰三角形，只要证明∠DBA=∠DAB即可．
（2）如图2中，只要证明AB是直径即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

∵CD平分∠EAC，
∴∠ECD=∠DCA，
∵∠ECD=∠DAB，∠DCA=∠DBA，
∴∠DBA=∠DAB，
∴DB=DA．
∵△DBA是等腰三角形．

（2）如图2中，

∵∠DCE=∠DCA=45°，
∴∠ECA=∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵BD=AD=6，
∴AB===6．
∴⊙O的半径为3
【点评】本题考查圆周角、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
　
例题2．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据垂径定理得到=，根据圆周角定理解答；
（2）根据圆周角定理得到∠C=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，根据余弦的定义求出BE即可．
【解答】解：（1）∵OA⊥BC，
∴=，
∴∠AEB=∠AEC=28°，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠AEB=56°；
（2）∵BE是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CEB+∠B=90°，
∵∠BEA=∠B，∠AEB=∠AEC，
∴∠B=30°，
∴BE==4，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
　
变式1．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=80°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=8，AC=6，求DE的长．

【分析】（1）根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆周角定理求出∠CAB，计算即可；
（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出OE，结合图形计算．
【解答】解：（1）∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠B=80°，
∴∠OAD=∠ODA=50°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CAB=10°，
∴∠CAD=50°﹣10°=40°；
（2）∵∠C=90°，AB=8，AC=6，
∴BC==2，
∵OD∥BC，OA=OB，
∴OE=BC=，
∴DE=4﹣．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形中位线定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、灵活运用勾股定理是解题的关键．
　
变式2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D是上一点，且∠DAC=∠DBA，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连结AD．
（1）求证：DB平分∠CBA；
（2）连接CD，若CD=5，BD=12，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接CD，由∠CBD=∠DBA，得到CD=AD，根据AB为直径，得到∠ADB=90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠DAC=∠DBC，∠DAC=∠DBA，
∴∠DBA=∠CBD，
∴DB平分∠CBA；
（2）解：连接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴=，
∴CD=AD，
∵CD﹦5，
∴AD=5，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD=12，
∴AB==13，
故⊙O的半径为6.5．

【点评】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键．
　
拓展点二：与圆周角有关的证明
例题1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD=∠FGC；
（2）若AG•AF=48，CD=4，求⊙O的半径．

【分析】（1）由AB⊥CD，推出EC=ED，推出AC=AD，推出∠3=∠ADC，由∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，推出∠1=∠ADC，由∠2=∠3，即可证明∠1=∠2；
（2）由△CAG∽△FAC，推出=，推出AC2=AG•AF=48，推出AC=4，在Rt△ACE中，由∠AEC=90°，AC=4，CE=2，推出AE==6，由△ACE∽△ABC，可得AC2=AE•AB，推出AB=8即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴EC=ED，
∴AC=AD，
∴∠3=∠ADC，
∵∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，
∴∠1=∠ADC，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即：∠AGD=∠FGC；

（2）解：∵∠FCG+∠DCG=180°，∠DCG+∠DAG=180°，
∴∠FCG=∠DAG，∵∠1=∠2，
∴∠ADG=∠F，
∵∠ADG=∠ACG，
∴∠ACG=∠F，∵∠CAG=∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
∴=，
∴AC2=AG•AF=48，
∴AC=4，
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，AC=4，CE=2，
∴AE==6，
易知△ACE∽△ABC，
∴AC2=AE•AB，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4．

【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
　
例题2．如图，已知⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°
（1）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得．
【解答】解：（1）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，
∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=；

（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．


【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．
　
变式1．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求AD的长．
（2）求CD的长．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，又由∠ACB的平分线交⊙O于点D，易得△ABD是等腰直角三角形，则可求得答案；
（2）过点D分别作DM⊥CA于M，DN⊥CB于N，可证DM=DN，再证Rt△DAM≌Rt△DBN，得AM=BN，易证正方形DMCB，故CM=CN，然后设AM=x，可得方程，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∴，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴=，
∴AD=BD=，

（2）过点D分别作DM⊥CA于M，DN⊥CB于N，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴DM=DN，
在Rt△DAM和Rt△DBN中，
，
∴Rt△DAM≌Rt△DBN（HL）），
∴AM=BN，
∴四边形BDMC是正方形DMCB，
∴CM=CN，
设AM=x，
则，
解得：，
∴．

【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
　
变式2．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于点Q；
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4，求PC的长．

【分析】（1）由圆周角定理知，∠BAC=∠BPC=∠APC=∠BPC=60°，即可证明△ABC是等边三角形；
（2）通过作辅助线，构造等腰直角三角形求解．
【解答】（1）解：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：设正△ABC的高为h，则h=BC•sin60°．
∵BC•h=4，
即BC•BC•sin60°=4，
解得BC=4，
如图1，连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°，
∴OC==，
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，
于是∠POC=2∠PBC=150°，
∴∠PCO=（180°﹣150°）÷2=15°，
如图2，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM=15°，则∠RNG=30°，
作GH⊥RN，垂足为H．
设GH=1，则cos∠GNM=cos15°=．
在Rt△GHN中，
NH=GN•cos30°，GH=GN•sin30°，
∴RH=GH，MN=RN•sin45°，
∴cos15°=．
在图中，作OF⊥PC于F，
∴PC=2CF=2OC•cos15°=2+．


【点评】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，构造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很强的综合性．

拓展点三：与圆内四边形性质相关的证明题
例题1．如图，⊙O的直径AB=10m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD、BD．
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）若弦AC=6cm，求BC的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到AD=BD，可以判断△ABD的形状；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，运用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）△ABD是等腰直角三角形，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴=，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC==8cm．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用、等腰直角三角形的判定，掌握直径所对的圆周角是直角、理解等腰直角三角形的判定定理是解题的关键．
　
例题2．已知：A、B、C、D四点均在⊙O上，点E在CD的延长线上，AB=AC．求证：DA平分∠BDE．

【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠ADE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠ACB=∠ABC，等量代换得到∠ADE=∠ADB，于是得到结论．
【解答】证明：∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，
∵AC=BA，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ADE=∠ADB，
∴DA平分∠BDE．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
　
变式1．已知点A、B、C、D四点在O上；
（1）若∠ABC=∠ADB，求证：AB=AC；
（2）若∠CAD=∠ACD，求证：BD平分∠ABC．

【分析】（1）由∠ABC=∠ADB，根据圆周角与弧的关系，可证得=，又由弧与弦的关系，即可证得结论；
（2）由圆周角定理可证得：∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，又由∠CAD=∠ACD，即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵∠ABC=∠ADB，
∴=，
∴AB=AC；

（2）∵∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，
又∵∠CAD=∠ACD，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
【点评】此题考查了圆周角定理以及弧与弦的关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
　
变式2．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和AD的长．

【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，又由CD平分∠ACB，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵弦BC长为，弦AC长为2，
∴AB==6；
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∴AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∴AD=AB•cos45°=．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．注意直径所对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键．
　
拓展点四：与圆内接四边形性质相关的计算题
例题1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=　27　°．

【分析】根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，
∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=78°，
∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，
故答案为：27．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
　
例题2．如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB=110°，则∠AOB=　140°　．

【分析】在优弧上取点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的性质，求出∠ADB的度数，根据圆周角定理求出∠AOB．
【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD、BD，
根据圆内接四边形的性质可知，
∠ACB+∠ADB=180°，又∠ACB=110°，
∴∠ADB=70°，
∠AOB=2∠ADB=140°，
故答案为：140°．

【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
　
变式1．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB=32°，则∠BAC=　64°　．

【分析】由圆周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB为直径可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC∥OD，利用平行线的性质可求∠BAC．
【解答】解：∵∠BOD与∠BCD为所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOD=2∠BCD=64°，
∵AB为直径，∴AC⊥BC，
又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，
∴∠BAC=∠BOD=64°，
故答案为：64°．
【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质．关键是利用圆周角定理求圆心角，利用平行线的判定与性质求解．
　
变式2．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，DB=DC，DA、CB的延长线相交于点E，若∠BDC=a，则∠EAB=　90°﹣α　（用含a的式子表示）

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠C的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵DB=DC，∠BDC=α，
∴∠C==90°﹣α．
∵四边形ABCD内接是圆内接四边形，、
∴∠EAB=∠C=90°﹣α．
故答案为：90°﹣α．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
　
拓展点五：圆有关性质的综合应用
易错点：在求弦所对的圆周角的角度时，容易漏解
例题．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）
A．80° B．80°或100° C．100° D．160°或20°
【分析】根据圆周角性质，圆内接四边形，可得答案．
【解答】解：如图
，
∠ABC=∠AOC=160°=80°，
∠ABC+∠AB′C=180°，
∠AB′C=100°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用圆周角定理是解题关键．
　
变式1．若圆的一条弦把圆分成度数比为1：4的两段弧，则弦所对的圆周角等于（　　）
A．36° B．72° C．36°或144° D．72°或108°
【分析】圆的一条弦把圆分成度数之比为1：4的两条弧，则所分的劣弧的度数是72°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于36°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于144°；即可得出结果．
【解答】解：如图所示，弦AB将⊙O分成了度数比为1：4两条弧．
连接OA、OB；
则∠AOB=×360°=72°；
①当所求的圆周角顶点位于D点时，
这条弦所对的圆周角∠ADB=∠AOB=36°；
②当所求的圆周角顶点位于C点时，
这条弦所对的圆周角∠ACB=180°﹣∠ADB=144°．
故选：C．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理；在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．

变式2．∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为（　　）
A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130°
【分析】由于点C的位置不能确定，故应分点C在优弧AB上和在劣弧AB上两种情况讨论．
【解答】解：当点C1所示时，
∵∠AC1B与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠AC1B=∠AOB=×100°=50°；
当点C2所示时，
∵∠AC1B=50°，
∴∠AC2B=180°﹣50°=130°．
故选D．

【点评】本题考查的是圆周角定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
变式3．∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为（　　）
A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130°
【分析】由于点C的位置不能确定，故应分点C在优弧AB上和在劣弧AB上两种情况讨论．
【解答】解：当点C1所示时，
∵∠AC1B与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠AC1B=∠AOB=×100°=50°；
当点C2所示时，
∵∠AC1B=50°，
∴∠AC2B=180°﹣50°=130°．
故选D．

【点评】本题考查的是圆周角定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．