高中11.3.3 平面与平面平行第2课时学案

11.3.3 平面与平面平行(2)    

1.掌握空间线与面、面与面平行的证明．

2.线面与面面平行的判定定理和性质定理的应用及转化思想．

重点：掌握空间线与面、面与面平行的证明．

难点：线面与面面平行的判定定理和性质定理的应用及转化思想．

1.直线与平面、平面与平面平行的判定定理

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．

2．直线与平面、平面与平面平行的性质定理

推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

试一试

1．思考辨析

(1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.(　　)

(2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．(　　)

(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.(　　)

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　B．平行    C．BD1⊂平面ACE    D．相交或平行

3．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是________．

4.如图是正方体的平面展开图:

在这个正方体中,①BM∥平面ADE;②CN∥平面BAF;

③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.

以上说法正确的是　　　　　　　　(填序号). 

5. 如图所示,已知平面α∥平面β,A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC.

求证:AD=BC.

题型一    线与面、面与面平行的判定

例1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.

 [规律方法]　应用判定定理证明线面平行的步骤

例2、如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.

 [规律方法]　平面与平面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点．

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

题型二   平行关系的综合应用

问题1．应用线面平行性质定理有什么技巧？

2．面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？

3．你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？

例3.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.

题型三   有关平行的探索性问题

例4.已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.

母题探究：本例若改为“已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，在棱PD上是否存在一点E，使PB∥平面ACE？若存在请找出E点位置，若不存在请说明理由”，该如何解决？

 [规律方法]　解决线线平行与面面平行的综合问题的策略

(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．

(2)

所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．

1.下列说法中,正确的是(　　)

A.平行于同一直线的两个平面平行

B.平行于同一平面的两个平面平行

C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行

D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交

2. 已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.

4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.

4

1.四个定理：（1）线面、面面平行的判定定理

（2）线面、面面平行的性质定理

2.平行问题的转化关系

参考答案：

知识梳理

试一试

1．[提示]　(1)×　b也可能在平面α内．(2)√　(3)√

2． B　[连接AC、BD交于点O，连接OE(图略)，则EO∥BD1，又EO⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE.所以BD1∥平面ACE.]

3． 平行四边形　[因为AF∥EC1，所以AF，EC1确定一个平面α.

平面α∩平面CDD1C1＝C1F，平面α∩平面ABB1A1＝AE，

又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，

所以AE∥C1F，

所以四边形AEC1F是平行四边形．]

4.

答案:①②③④

5. 证明:∵AD∥BC,∴AD与BC确定一个平面γ.

∵α∥β,α∩γ=AB,β∩γ=DC,

∴AB∥DC.

∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC.

学习过程

例1．

[证明]　连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.

又ABA1B1D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，

所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.

又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，

所以EF∥平面AD1G.

例2、思路探究：平面A1EB∥平面ADC1⇐⇐

[证明]　由棱柱性质知，

B1C1∥BC，B1C1＝BC，

又D，E分别为BC，B1C1的中点，

所以C1E DB，则四边形C1DBE为平行四边形，

因此EB∥C1D，

又C1D⊂平面ADC1，

EB⊄平面ADC1，

所以EB∥平面ADC1.

连接DE，同理，EB1BD，

所以四边形EDBB1为平行四边形，

则EDB1B.

因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，

所以EDA1A，则四边形EDAA1为平行四边形，

所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，

所以A1E∥平面ADC1.

由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1.

A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，

且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.

题型二   平行关系的综合应用

问题1．[提示]　应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．

2． [提示]　两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．

3． [提示]　三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

例3.  [证明]　因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.

又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.

因为AB∥CD，所以CD∥AF，

所以AFCD为平行四边形．

所以FC∥AD.

又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，

所以FC∥平面ADD1A1.

因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，

所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1.

又EE1⊂平面ADD1A1，

所以EE1∥平面FCC1.

题型三   有关平行的探索性问题

例4. 思路探究：解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．

[解]　如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.

∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

∴BG∥平面AEC.

同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.

∴平面BGF∥平面AEC.

∴BF∥平面AEC.

∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．

又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．

而GF∥CE，∴F为PC中点．

综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.

母题探究： [解]　如图，连AC、BD交于点O，取PD中点为E，连OE、AE、CE，则在△PBD中，OE∥PB，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE.此时E为PD中点，故当E为PD中点时，能使PB∥平面ACE.

达标检测

1. 答案:BCD

2.

【解析】如图所示：确定一个平面，因为平面平面，

所以，同理，所以四边形是平行四边形.

即正方体被平面截的截面.因为，所以，

即所以

由余弦定理得：

所以所以四边形故选：B

3． 【答案】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.

同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.

4.解:存在.点Q在底面ABCD的中位线GH上,理由如下:

取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.因为F,G分别为DP,DA的中点,所以FG∥PA.

因为FG⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以FG∥平面PAB.

因为AB∥CD,EF∥CD,EF∥AB,而EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.

因为EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面PAB.又GH∥CD,所以GH∥EF.

所以平面EFG即平面EFGH.所以平面EFGH∥平面PAB.

又点Q∈平面ABCD,所以点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD).所以点Q∈GH.

所以点Q在底面ABCD的中位线GH上.