高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.3 平面与平面平行第2课时教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.3 平面与平面平行第2课时教学设计，共17页。教案主要包含了教学重点，教学难点，课前检测，解题方法，变式练习等内容，欢迎下载使用。

空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题转化为平面问题的典型。空间中平面与平面的判定定理给出了线面平行转化为面面平行的方法，面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要的地位。本课时的平面与平面平行的第2课时，在上一课时探讨了平面与平面平行的判定和性质定理的基础上，进一步熟练两个定理在空间中平行关系的综合问题中的应用，进一步提高学生空间想象能力、思维能力，体会类比的作用，渗透等价转化的思想
【教学重点】
平面与平面的判定和性质定理的综合应用
【教学难点】
线线平行、线面平行、面面平行的转化、空间问题与平面问题的转化
复习回顾：
1.知识点：直线与平面平行的判定定理
(1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(2)符号表示：如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β_，则α∥β.
(3)图形表示：
（4）作用：证明平面与平面平行.
2.平面与平面平行判定定理的推论
(1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(2)符号表示：如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l′⊂β，m′⊂β，l∥l′，m∥m′，则α∥β.
(3)图形表示：
（4）作用：证明平面与平面平行.
3.平面与平面平行的性质定理1
1．文字叙述：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
2．符号表示：如果α∥β，l⊂α,那么l∥β
3．图形表示：
4．作用：证明线面平行.
4.平面与平面平行的性质定理2
1．文字叙述：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
2．符号表示：如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则l∥m.
3．图形表示：
4．作用：证明两直线平行.
5.结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
【课前检测】
1.下列说法中,正确的是( )
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交
解析:平行于同一直线的两个平面有可能相交,如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD与平面A1ABB1都与C1D1平行,但平面ABCD与平面A1ABB1相交.B,C,D正确.
答案:BCD
2.若α∥β,a⊂α,下列四个命题中正确的是( )
①a与β内所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不垂直;④a与β无公共点.
A.①②B.②④C.②③D.①③④
解析:由性质知①错误;由定义知②正确;因为a与β内的直线可能异面垂直,故③错误;由定义知④正确,故选B.
答案:B
3.如图是正方体的平面展开图:
在这个正方体中,①BM∥平面ADE;②CN∥平面BAF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
以上说法正确的是 (填序号).
解析:以ABCD为下底还原正方体,如右图所示,
则易判定四个说法都正确.
答案:①②③④
4.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为 .
解析:若a⊂β,则显然满足题目条件;
若a⊄β,过直线a作平面γ,γ∩ a =b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,又a⊄β,c⊂β,所以a∥β.
答案:a⊂β或a∥β
5. 如图所示,已知平面α∥平面β,A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC.求证:AD=BC.
证明:∵AD∥BC,∴AD与BC确定一个平面γ.
∵α∥β,α∩γ=AB,β∩γ=DC,
∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC.
题型1：平面与平面平行的判定定理
例1. 如图所示，在正方体中，，分别是，的中点.
求证：平面平面.
证明：连结，，交于点，则是中点，连结，
在平行六面体中，有，
平面，平面，
平面，
连结，设与连结交于点，
四边形为平行四边形，点是的中点，
又是的中点，
是的中位线，
、分别是、的中点，，
，
平面，平面，平面，
，平面，平面，
平面平面.
【解题方法】
判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．
(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
(3)利用推论：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【变式练习】
如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点.求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面.
证明：
（1）如图，
连接，分别是的中点，
.
又平面平面，
所以直线平面.
（2）连接分别是的中点，
.
又∵平面平面
平面.
又平面平面，
∴平面平面.
题型2：平面与平面平行的性质定理
例2. 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,D1是B1C1的中点,设平面A1D1B∩平面ABC=l1,平面ADC1∩平面A1B1C1=l2.求证:l1∥l2.
证明:连接D1D,因为D与D1分别是BC
与B1C1的中点,所以DD1//BB1.
又BB1//AA1,所以DD1//AA1.
所以四边形A1D1DA为平行四边形,所以AD∥A1D1.
又平面A1B1C1∥平面ABC,且平面A1B1C1∩平面A1D1B=A1D1,平面A1D1B∩平面ABC=l1,
所以A1D1∥l1.同理可证:AD∥l2.
因为A1D1∥AD,所以l1∥l2.
【解题方法】
面面平行性质定理的关键
(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交．
(2)定理的实质：面面平行⇒线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由定理可知，两条交线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
【变式练习】
已知分别是底面为平行四边形的四棱锥的棱的中点，平面与平面交于，求证:
（1）平面；
（2）.
【答案】(1) 证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）如图，取的中点，连接.
∴是△的中位线，∴.
∵平面平面，
∴平面
∵是的中点，四边形是平行四边形，∴.
∵平面平面，∴平面
∵，∴平面平面
∵平面，∴平面
（2）由（1）可得：平面平面，
又平面平面，平面平面，
∴.
例3. 已知平面平面，是，外一点，过点的直线与，分别交于，两点，过点的直线与，分别交于，两点，且，，，则的长为（ ）
A．16B．24或C．14D．或
【答案】B
【解析】
因为
所以.
若在的同侧时，则有
因为
所以
所以；
若点在之间时，则有
因为
所以
所以.
综上，或.
故选：B
【变式练习】
如图所示,P是三角形所在平面外点,平面平面,分别交线段于点,若,则与面积的比为( )
A．2:5B．3:8C．4:9D．4:25
【答案】D
【解析】
∵平面平面,平面平面,平面平面,由面面平行得性质定理可得.又,.同理,,与相似,.
故选:
例4. 已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图所示：
确定一个平面，
因为平面平面，
所以，同理，
所以四边形是平行四边形.
即正方体被平面截的截面.
因为，
所以，
即
所以
由余弦定理得：
所以
所以四边形
故选：B
【变式练习】
如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，
E，F分别在线段DB，DD1上，且，
∴EF∥BD1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
∵G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，∴AF∥BG，
∴.
故选：B.
题型3：探索性问题
例5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.
解:存在.点Q在底面ABCD的中位线GH上,理由如下:
取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.
因为F,G分别为DP,DA的中点,所以FG∥PA.
因为FG⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,
所以FG∥平面PAB.
因为AB∥CD,EF∥CD,EF∥AB,
而EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.
因为EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面PAB.
又GH∥CD,所以GH∥EF.
所以平面EFG即平面EFGH.
所以平面EFGH∥平面PAB.
又点Q∈平面ABCD,所以点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD).所以点Q∈GH.
所以点Q在底面ABCD的中位线GH上.
【解题方法】
探索型问题常用策略
(1)(条件探索型)所给问题结论明确,需要完备条件或条件需探索,或条件增删需确定,或条件正误需判断.
(2)(结论探索型)先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳进行猜测,得出结论,再就一般情况去证明结论.
【变式练习】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解答：当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.
∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.
而PO⊂平面PAO,PA⊂平面PAO,PO∩PA=P,D1B⊂平面D1BQ,QB⊂平面D1BQ,D1B∩QB=B,
∴平面D1BQ∥平面PAO.
小结：
两个定理：面面平行的判定定理②面面平行的性质定理
平行问题的转化关系

平面与平面平行的主要判定方法：①判定定理——线面平行②判定定理的推论——线线平行
寻找平行线的方法
（1）平行线的传递性 (2)
5.探索性问题
考点
教学目标
核心素养
平面与平面平行的判定定理及推论
通过实例进一步掌握利用线线平行和线面平行来证明面面平行，体会空间问题与平面问题的转化
直观想象、数学抽象、逻辑推理
平面与平面平行的性质定理及推论
通过实例进一步掌握平面与平面平行的两个性质定理，利用性质定理得到空间中的平行关系和长度比例关系，掌握平面与平面的判定和性质定理的综合应用
直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算