数学必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.3 平面与平面平行第1课时教学设计

11.3.3平面与平面平行（1）

平面与平面问题是考查考查的重点之一，求解的关系是把平面与平面问题转化为直线与平面问题、直线与直线问题来解决，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。立体几何的问题解决：一是如何讲立体几何问题转化为平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需要在实践中进一步体会。平面与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，应用较多，本课通过学习平面与平面平行的判定定理和性质定理，为判定平面与平面平行的位置关系提供了理论依据；通过对平面与平面的判定定理的学习让学生进一步体会等价转化思想在立体几何中的应用；将平面与平面问题转化为两直线平行，线面平行问题。教学中应强调两个平面平行的判定定理中的关键词：相交；在两个平面平行的性质定理的研究中，重在引导学生如何将平面和平面的问题转化为两直线平行，线面平行问题。

【教学重点】

平面与平面平行的判定定理及推论、性质定理的证明和应用

【教学难点】

面面平行与线面平行、线线平行的转化，空间问题与平面问题的转化

引入

空间中平面与平面存在哪些位置关系？

答案：空间中的平面与平面存在两种位置关系：相交和平行，如下图所示

问题1.面面平行的判定定理

证明：如图所示，假设与有公共点，且，

由且，可知，

又因为，所以

同理有

因此，这与与相交矛盾，所以

知识点：直线与平面平行的判定定理

(1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

(2)符号表示：如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β_，则α∥β.

(3)图形表示：

（4）作用：证明平面与平面平行.

注：在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画出平行线，如图所示。

思考：

1．三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与α平行吗？

提示　平行．三角板的两条边相交，符合判定定理．

2．如果平面α内有无数条直线与平面β平行，这两个平面平行吗？

提示　不一定平行，若无数条直线都平行，那么这两个平面不一定平行；若无数条直线中存在两条相交直线，那么这两个平面就平行．

例1.如图所示，已知三棱锥中，分别是的中点。

求证：面面

证明：在中，因为分别是的中点，所以

又知平面平面，因此平面

同理平面

又因为，所以由面面平行的判定定理可得

面面

【变式练习】

已知P是□ABCD所在平面外一点．E，F，G公别是PB，AB，BC的中点．

求证：平面PAC∥平面EFG.

证明　因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA．

又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以EF∥平面PAC．

同理得EG∥平面PAC．

又EF⊂平面EFG，

EG⊂平面EFG，EF∩EG＝E，

所以平面PAC∥平面EFG.

问题2：平面与平面平行判定定理的推论

(1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．

(2)符号表示：如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l′⊂β，m′⊂β，l∥l′，m∥m′，则α∥β.

(3)图形表示：

（4）作用：证明平面与平面平行.

例2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD．

证明　如图所示，连接B1D1、B1C．

∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，

∴PN∥B1D1.

又B1D1∥BD，∴PN∥BD．

同理MN∥A1D，

又PN∩MN＝N，PN⊂平面MNP，MN⊂平面MNP

∴平面PMN∥平面A1BD．

问题3：平面与平面平行的性质定理

知识点1　平面与平面平行的性质定理1

1．文字叙述：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面

2．符号表示：如果α∥β，l⊂α,那么l∥β

3．图形表示：

4．作用：证明线面平行.

例3.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

求证：(1)PQ∥平面DCC1D1；

(2)EF∥平面BB1D1D．

证明　如图所示，

(1)证法一：连接AC、CD1，

∵P，Q分别是AD1，AC的中点，

∴PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1.

证法二：取AD的中点G，连接PG、GQ.则有PG∥D1D．PG⊄平面DCC1D1，D1D⊂平面DCC1D1.

∴PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1.

又PG∩GQ＝G，PG⊂平面PGQ，GQ⊂平面PGQ，

∴平面PGQ∥平面DCC1D1.

又PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1.

(2)证法一：取B1D1的中点O1，连接BO1，FO1，则有FO1B1C1.

又BEB1C1，∴BEFO1.

∴四边形BEFO1为平行四边形，∴EF∥BO1，

又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，

∴EF∥平面BB1D1D．

证法二：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，

则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1.又FE1∩EE1＝E1，

B1D1∩BB1＝B1，

∴平面EE1F∥平面BB1D1D．

又EF⊂平面EE1F，∴EF∥平面BB1D1D．

知识点2　平面与平面平行的性质定理2

1．文字叙述：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

2．符号表示：如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则l∥m.

3．图形表示：

4．作用：证明两直线平行.

证明：如图所示，因为，所以与没有公共点

又因为，所以

注意到且，所以与共面且没有公共点，即

例4.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.

证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以DE∥平面ABC，

同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，

所以平面DEF∥平面ABC．

又平面PCM∩平面DEF＝NF，

平面PCM∩平面ABC＝CM，

所以NF∥CM.

【变式练习】

如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.

【答案】平行四边形　∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH与两平面分别交于EF，GH.由面面平行的性质定理得EF∥GH，同理可得EH∥FG，

∴四边形EFGH为平行四边形．

例5.如图所示，已知都是平面，且。两条直线分别于平面相交于和点

求证： 

证明：连接设与平面相交于点G，则平面与平面分别相交于直线，

平面与平面分别相交于直线 

因为，因此

因此：

同理可得： 

注：结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

【变式练习】

如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D．

(1)求证：AC∥BD；

(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．

(1)证明　∵PB∩PD＝P，

∴直线PB和PD确定一个平面γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．

又α∥β，∴AC∥BD．

(2)解　由(1)得AC∥BD，∴＝，∴＝，

∴CD＝(cm)，∴PD＝PC＋CD＝(cm)．

小结：

1．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

2．面面平行的性质定理的几个推论

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．           

(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．