高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.3 平面与平面平行第1课时教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.3 平面与平面平行第1课时教案，共11页。教案主要包含了情境与问题，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。

本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第十一章《11.3.3 平面与平面平行(1)》， 本节课要学的内容为面与平面平行的判断及性质定理。引导学生从直线与平面平行的判定定理出发，学习平面与平面平行的判定和性质定理，经历直观感知，推理论证，应用等学习过程。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
1.教学重点：掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．
2.教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用
多媒体
本课从面与面的位置关系出发，引导学生类比直线与平面平行判定定理，学习平面与平面判定定理，经历观察抽象，推理论证出直线与平面平行的判定定理。从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。
课程目标
学科素养
A.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断．
B.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．
C.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．
1.数学抽象： 直线与平面平行的判定与性质定理
2.逻辑推理：面与面平行的证明。
3.直观想象：平面与平面平行的画法
4.数学建模：常见的平面与平面平行的证明方法
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、情境与问题
两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
α∥β
0个
两平面相交
α∩β＝l
无数个点(共线)
1.面面平行的判定定理
如图所示，假设直线l与直线m都在平面α内，且l⋂m=∅，将直线l与直线m同时平移出平面α （记平移后的直线分别为l'与m'），则l∥l'，m∥m',设l'与m'确定的平面为β 。判断平面α与平面β的位置关系，并说明理由
平面与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂α，m⊂α,l∩m≠,l∥β，m∥β))⇒α∥β
证明：如图所示，假设与有公共点，且，
由且，可知，
又因为，所以
同理有
因此，这与与相交矛盾，所以
1．三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与α平行吗？
提示 平行．三角板的两条边相交，符合判定定理．
2．如果平面α内有无数条直线与平面β平行，这两个平面平行吗？
提示 不一定平行，若无数条直线都平行，那么这两个平面不一定平行；若无数条直线中存在两条相交直线，那么这两个平面就平行．
例1.如图所示，已知三棱锥中，分别是的中点。
求证：面面
证明：在中，因为分别是的中点，所以
又知平面平面，因此平面
同理平面
又因为，所以由面面平行的判定定理可得
面面
2：平面与平面平行判定定理的推论
(1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(2)符号表示：
如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l′⊂β，m′⊂β，l∥l′，m∥m′，则α∥β.
(3)图形表示：
（4）作用：证明平面与平面平行.
常见面面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理法：转化为线面平行．
(3)平行平面的传递性：两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行．
(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．即：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(aα，bα，a∩b＝P,a′β，b′β，a′∩b′＝P′,a∥a′，b∥b′))⇒α∥β.
跟踪训练1. 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
[证明] 因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因为BP平面PBC，NQ平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形．
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
又因为BC平面PBC，MQ平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，
所以平面MNQ∥平面PBC.
3.平面与平面平行的性质定理
当α∥β时， α与β没有公共点，此时l⊂α，m⊂β,则l⋂m=∅,这就是说, l与m的位置关系是异面与平行,那么情况下, l与m与平行呢？
文字语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m⇒l∥m
图形语言
已知 α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，求证：l∥m.
证明：如图所示，因为，
所以与没有公共点
又因为，
所以
注意到且，
所以与共面且没有公共点，即
例2.如图所示，已知都是平面，且。两条直线分别于
平面相交于和点
求证：
证明：连接设与平面相交于点G，则平面与平面分别相交于直线，
平面与平面分别相交于直线
因为，因此
因此：
同理可得：
注：结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
跟踪训练1.如图，已知平面α∥β，Pα，且Pβ，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.
[思路探究] 面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等．
eq \f(24,5) [因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq \f(PA,AC)＝eq \f(PB,BD)，即eq \f(6,9)＝eq \f(8－BD,BD).所以BD＝eq \f(24,5).]
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
通过对平面与平面位置关系的回顾，引出平面与平面平行的定义及判定定理。发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。
由学生类比直线与平面平行判定定理，学习平面与平面判定定理，让学生经历直观想象，分析概括与推理论证。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。
通过定理应用，提升学生对定理的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
通过典例分析，提高学生对面面平行证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)没有公共点的两平面平行． ( )
(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行． ( )
(3)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行． ( )
[解析] (1)由平面与平面平行的定义知正确．(2)若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误．
(3)两平面可能相交．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A．若α与β相交，aα，bβ，则a与b一定相交
B．若aα，bβ，a∥b，则α∥β
C．a∥β，b∥β，aα，bα⇒α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
D [A错误，a与b，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．]
3．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
平行 [由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC.又因为BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC.]
4．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
[证明] 因为PE＝EC，PF＝FD，所以EF∥CD，
又因为CD∥AB，
所以EF∥AB，又EF平面PAB，AB平面PAB，
所以EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB.
又因为EF∩EG＝E，
所以平面PAB∥平面EFG.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养。
四、小结
1．平面与平面平行的判定定理的理解
(1)平面α内两条相交直线l，m，即lα，mα，l∩m≠∅.
(2)两条相交直线l，m都与平面β平行，即l∥β，m∥β.这两个条件缺一不可．
2．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。